Невероятно круглая сумма

[Ktina]

(по мотивам задачи «Невероятно круглое произведение»)

Использовав каждую из десятичных цифр ровно один раз, написали несколько чисел. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих чисел?

[rockclimber]

Ну вроде чтобы нулей было больше, надо, чтобы чисел было меньше, а сами они - длиннее. Тогда два числа по пять цифр дадут

(Четыре?)

$39876+50124=90000$

[Ktina]

rockclimber

Не моё писал(а):

Пример с 4 нулями на конце привести легко -- скажем, 9764+80235+1=90000. Покажем, что 5 нулей на конце быть не может. Сумма используемых цифр делится на 9, поэтому сумма чисел также делится на 9. Если она оканчивается 5 нулями, то она не меньше 900000. Из этого следует, что хотя бы одно слагаемое как минимум 6-значно. При этом вторая слева его цифра равна 9 -- в противном случае столько нулей не получится. Первая цифра будет 8, и помимо 6-значного числа должно быть одно 4-значное слагаемое. Тогда цифру 0 некуда "пристроить" (не получится перехода цифр в следующий разряд, а это нужно).

[rockclimber]

Имхо, можно проще доказать.
Для пяти нулей нужно пять пар цифр. В 4 парах сумма должна равняться 9, и в одной паре - 10 (чтобы дальше единичка передавалась по разрядам "наверх"). То есть общая сумма цифр должна быть $4 \cdot 9 + 10 = 46$. А у нас на руках только $45$...

[Ktina]

rockclimber
Большое спасибо!