Сколько домов вдоль дороги?

[Ktina]

Вдоль дороги в ряд стоят $n\in\mathbb{N}$ домов, в каждом живёт хотя бы один человек, и при этом в любых двух разных домах живёт разное число людей. Два жителя называются соседями, если они живут в одном доме или в соседних домах. Известно, что у каждого жителя либо ровно 20, либо ровно 30 соседей.

Найти все возможные значения $n$ и доказать, что других нет.

[waxtep]

(Оффтоп)

один или два дома - можно; если домов три или более, то, в третьем доме десять жителей, и в предпоследнем доме десять; то есть, еще подходит только $n=5$, с, например, $(15,6,10,5,16)$ жителей

[Ktina]

waxtep
Ну как бы да, только замените слово "предпоследем" на "предпредпоследем"

[waxtep]

Да, конечно, лопухнулся в словоупотреблении.
А, вот, в рамках данной задачи определим "предпоследний" как второй третий с конца!

[Ktina]

waxtep в сообщении #1299764 писал(а):

...
А, вот, в рамках данной задачи определим "предпоследний" как второй третий с конца!

(Оффтоп)

Цитата:

АНЕКДОТ №193993
Физику, биологу и математику предлагают объяснить, как могло случиться,
что в пустой дом вошли два человека, а через некоторое время вышли три.

Физик: Это ошибка наблюдения, такого быть не может.

Биолог: Это естественый процесс размножения, у двоих родился третий.

Математик: Нет ничего проще! Определим пустой дом как дом, в котором
не более одного человека!

[waxtep]

[kotenok gav]

waxtep в сообщении #1299751 писал(а):

в третьем доме десять жителей, и в предпредпоследнем доме десять

Почему?

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1299820 писал(а):

waxtep в сообщении #1299751 писал(а):

в третьем доме десять жителей, и в предпредпоследнем доме десять

Почему?

(по умолчанию мы будем считать, что человек не является соседом самого себя)
Возьмём Васю, жителя первого дома. Его соседи - все жители первого и второго домов. Тогда общее число жителей в первых двух домах равно 21 или 31. Теперь возьмём Ярдену, жительцицу второго дома. Её соседи - все жители первого, второго и третьего домов. Тогда общее число жителей в первых трёх домах также равно 21 или 31. Поскольку в каждом доме есть хотя бы один житель, в первых двух домах будет 21 житель, а в первых трёх - 31 житель. Следовательно, в третьем доме ровно 10 жителей.

Аналогично рассуждая, можно доказать, что и в третьем с конца доме тоже ровно 10 жителей.

[kotenok gav]

Спасибо!