Максимум суммы функций

[Rusit8800]

Решая одну задачу в голову пришла общая теорема, из которой ответ к исходной задаче получается сразу. Теорема заключается в следующем:
Пусть

$$\[F(x) = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}({x_i})} \]$$

причем $\[\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} = S} \]$. Тогда если для любых $\[j,k \in \{ 1,2,3,...,k\} \]$ и для любого аргумента $x$ выполняется

$$\[{f_j}(x - a) \cdot {f_k}(x + a) < {f_j}(x) \cdot {f_k}(x)\]$$

причем $\[\left| a \right| > 0\]$, то максимальное значение $F(x)$ достигается только при $\[{x_1} = {x_2} = ... = {x_k} = \frac{S}{k}\]$.

Идея моего доказательства заключается в том, чтобы "сдвигать" аргументы функций. Так, если взять два аргумента $\[{x_j}\]$ и $\[{x_k}\]$ и начать их "сдвигать" друг к другу , сохраняя сумму $S$ и не меняя значения всех остальных аргументов, то максимальное значение будет достигнуто только тогда, когда эти аргументы "схлопнуться" в одну точку. Если повторять эту операцию со всеми остальными парами, то значение $F(x)$ будет расти, а все точки будут приближаться к $\frac{S}{k}\

Однако мне не нравится это доказательство, так как оно очень не строгое. Как его сделать строгим?

[pogulyat_vyshel]

Rusit8800 в сообщении #1299434 писал(а):

оторой ответ к исходной задаче получается сразу. Теорема заключается в следующем:
Пусть

$$\[F(x) = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}({x_i})} \]$$

слева -- $x$
справа -- $x_i$
выдающаяся, видимо, какая-то теорема :)

[waxtep]

Контрпример: $k=2,f_1(x)=x, f_2(x)=2x$. Максимум $F=x_1+2x_2$ при условии $x_1+x_2=S$ достигается при минимально возможном значении $x_1\neq x_2$

[Rusit8800]

pogulyat_vyshel в сообщении #1299478 писал(а):

слева -- $x$
справа -- $x_i$
выдающаяся, видимо, какая-то теорема :)

Да, это я дал, конечно.

waxtep в сообщении #1299479 писал(а):

Контрпример: $k=2,f_1(x)=x, f_2(x)=2x$

Меня смущает это пример, так как максимума у функции $F=x_1+2x_2$ вообще нет, ибо $F=x_1+2x_2=S-x_2+2x_2=S+x_2$, а $x_2$ может быть сколь угодно большим.

-- 24.03.2018, 22:37 --

Даже если моя теорема неверна, то где пробой в доказательстве. Это меня интересует больше всего.

-- 24.03.2018, 22:41 --

Я кажется понял, надо $\[\sum \]$ поменять на $\[\prod \]$.

[waxtep]

Можно вот такой контрпример: $k=2,f_1(x)=e^{-x^2},f_2(x)=100e^{-x^2}$. Очевидно, что в максимуме $f_1(x_1)+f_2(x_2)$ значение $x_2$ должно быть близко к нулю, а $x_1$ - как получится. Мне кажется, у Вас с условием что-то не то:

Rusit8800 в сообщении #1299434 писал(а):

Тогда если для любых $\[j,k \in \{ 1,2,3,...,k\} \]$ и для любого аргумента $x$ выполняется

$$\[{f_j}(x - a) \cdot {f_k}(x + a) < {f_j}(x) \cdot {f_k}(x)\]$$

причем $\[\left| a \right| > 0\]$

Если оно выполняется, все $f_i$ просто пропорциональны друг другу, $f_i(x)=k_if(x)$, где $k_i$ - какие-то константы. Чтобы в этом убедиться, рассмотрите случай "очень маленького" $a$

[Rusit8800]

waxtep в сообщении #1299568 писал(а):

Можно вот такой контрпример: $k=2,f_1(x)=e^{-x^2},f_2(x)=100e^{-x^2}$

Тогда уж $k=2,f_1(x)=e^{-x_1^2},f_2(x)=100e^{-x_2^2}$

waxtep в сообщении #1299568 писал(а):

Если оно выполняется, все $f_i$ просто пропорциональны друг другу, $f_i(x)=k_if(x)$, где $k_i$ - какие-то константы.

Это условие выполняется для синусов. Где там пропорциональность?

[waxtep]

Rusit8800 в сообщении #1299602 писал(а):

Тогда уж $k=2,f_1(x)=e^{-x_1^2},f_2(x)=100e^{-x_2^2}$

Тут у Вас та же ошибка, что в исходном посте, слева $x$, справа $x_1,x_2$.

Rusit8800 в сообщении #1299602 писал(а):

Это условие выполняется для синусов.

Для каких синусов, можете написать явно?

[Rusit8800]

waxtep в сообщении #1299610 писал(а):

Тут у Вас та же ошибка, что в исходном посте, слева $x$, справа $x_1,x_2$.

Ну опять я опечатался. Просто аргументы функций не обязательно совпадают.

waxtep в сообщении #1299610 писал(а):

Для каких синусов, можете написать явно?

$\sin^2(x) - \sin(x + a) \sin(x - a)=\sin^2(a)>0$

[waxtep]

Rusit8800 в сообщении #1299625 писал(а):

$\sin^2(x) - \sin(x + a) \sin(x - a)=\sin^2(a)>0$

так я о чем и говорю, у Вас $f_1\equiv f_2$. Аргументы у функций разные, а сами функции тождественны = пропорциональны с коэффициентом единица. Ну и, точности ради, при $a=\pi n,n\in\mathbb{Z}$ неравенство нестрогое.
Сможете сами показать, что Ваше условие означает тождественность функций, с точностью до постоянного множителя?

[Rusit8800]

waxtep в сообщении #1299661 писал(а):

пропорциональны с коэффициентом единица

Откуда там единица? Это же разные функции.

[waxtep]

Rusit8800 в сообщении #1299686 писал(а):

Откуда там единица? Это же разные функции.

Обе функции являются синусами своего аргумента, и поэтому тождественны. Это одна и та же функция - синус. Только в первом случае аргумент $x_1$, а во втором $x_2$. Я говорю не о равенстве аргументов или значений функции, а о тождественности самих функций. То есть, Ваше условие гарантированно не будет работать для, например, $f_1=\sin,f_2=\cos$. И для любых других двух разных (отличающихся серьезнее чем постоянным множителем) функций работать не будет. Не верите - попробуйте привести пример разных функций (в смысле оговоренном выше) $f_1,f_2$, удовлетворяющих Вашему условию.