Наивные гомологии гладких многообразий

[Slav-27]

Пусть $M$ гладкое многообразие. Рассмотрим векторное пространство над $\mathbb R$ (а можно и над $\mathbb Q$), порождённое связными $k$-мерными компактными ориентированными вложенными гладкими подмногообразиями $M$ (в случае $k=0$ -- ориентированными точками); причём если $S$ и $\bar S$ -- подмногообразия, отличающиеся только ориентациею, то будем отождествлять $\bar S$ и $-S$. Получающееся векторное пространство обозначим $c_k$ и его элементы будем называть цепями. Определим гомоморфизмы $\partial_k:c_k \to c_{k-1}$, задав их на порождающих элементах: пусть $N$ -- $k$-мерное подмногообразие $M$ (ориентированное и т. д.), тогда $\partial_k N$ по определению есть (формальная) сумма связных компонент его границы (ориентация каждой компоненты индуцируется ориентацией $N$).

Получился цепной комплекс; группы гомологий этого комплекса будем обозначать $h_k(M)$. Обычным образом определим циклы, границы и отношение гомологичности циклов.

Вопрос: в каком отношении полученные группы гомологий находятся к группам сингулярных гомологий $H_k(M,\mathbb R)$? Можно ли получить правильные гомологии, следуя каким-то похожим путём? Но только хочу именно через вложенные подмногообразия, а не просто какие-нибудь там гладкие отображения.

--------

Сначала что я знаю хорошего.

Во-первых, каждый наш цикл определяет некоторый сингулярный цикл, причём если 2 цикла гомологичны в смысле наших гомологий, то и в смысле сингулярных -- тоже. Значит, имеется гомоморфизм $h_k(M)\to H_k(M,\mathbb R)$.

Если я ничего не путаю, то этот гомоморфизм оказывается сюръективен, и это доказал Том (но, возможно, только в предположении, что $M$ ориентируемо и компактно). Смотрите Thom. Quelques propriétés globales des variétés différentiables, теорема II.29 (для любого целочисленного гомологического класса ориентируемого многообразия $V^n$ существует целое ненулевое число $N$, такое что класс $Nz$ может быть реализован подмногообразием). Насколько я понимаю, под "подмногообразием" там понимается именно гладко вложенное подмногообразие без края; кроме того, для ненулевых гомологических классов оно должно быть ориентируемым и компактным, потому что у неориентируемых или некомпактных многообразий старшая целочисленная группа гомологий нулевая.

Значит, наши гомологии могут быть только больше настоящих: единственная проблема может быть в том, что какие-то циклы на самом деле гомологичны, а у нас нет.

Так действительно бывает. Вот 3 возражения. Я их не сам придумал, а нашёл на https://math.stackexchange.com/question ... ogy-groups: там у кого-то была очень похожая идея. А ещё там же рассмотрены некоторые случаи, когда всё работает правильно.

1) $h_1(\mathbb RP^2)$ имеет размерность континуум: проективные прямые в $\mathbb RP^2$ реализуют попарно негомологичные классы.
2) $h_2(\mathbb CP^2)$ имеет размерность континуум: комплексные проективные прямые реализуют попарно негомологичные классы.
3) Можно доказать, что $\mathbb CP^2$ не является границей никакого многообразия. Тем не менее оно вкладывается, например, в $\mathbb R^8$. Следовательно, $h_4(\mathbb R^8)\ne 0$.

Что касается первых двух возражений, то, насколько я понимаю, дело в следующем. Чтобы оказалось, что проективные прямые гомологичны, необходимо соотношение вида $\alpha_1 (\text{первая прямая})+ \alpha_2 (\text{вторая прямая})+...=0$; оно у нас может появиться, только если проективная прямая является связной компонентой границы какого-нибудь подмногообразия. Но у границы многообразия есть воротниковая окрестность, следовательно её можно сдвинуть так, чтобы она с собой не пересекалась, то есть её индекс самопересечения $0$. А у нас различные проективные прямые (что в вещественном, что в комплексном случае) пересекаются по одной точке (в которую проектируется прямая в $\mathbb R^3$ или $\mathbb C^3$, являющаяся пересечением соответствующих плоскостей), следовательно самопересечение проективной прямой ненулевое, значит она не может быть связной компонентой границы никакого подмногообразия.

Что касается третьего возражения, то я его не понимаю. Чтобы $\mathbb CP^2$ оказалось гомологично нулю, ему необязательно быть границей: можно быть связной компонентой границы. А оно умеет быть связной компонентой границы (например цилиндра над $\mathbb CP^2$). Может быть, есть вложенные подмногообразия $p$ и $q$ в $\mathbb R^8$, диффеоморфные $\mathbb CP^2$, и подмногообразия $M_1$ и $M_2$, такие что $\partial M_1= p \sqcup q$, а $\partial M_2= p \sqcup -q$; тогда $p=\partial(\frac12M_1 +\frac12M_2)$, и всё хорошо.

А про первые 2 возражения: а давайте рассматривать в качестве образующих группы цепей не вложенные подмногообразия, а их изотопические классы? То есть считать дополнительно 2 диффеоморфных подмногообразия эквивалентными, если между их вложениями есть гладкая гомотопия по гладким вложениям. Тогда в этих 2 случаях всё нормально: проективную прямую в $\mathbb RP^2$ можно передвинуть в себя же, но с противоположной ориентацией, и таким образом, наверно, получится правильный ответ $h_1(\mathbb RP^2)=0$ (ну если там кроме этих прямых ничего не ломается); а любые 2 проективные прямые в $\mathbb CP^2$ можно совместить с сохранением ориентации, и получится правильный ответ $h_2(\mathbb CP^2)=\mathbb R$.

В каких-то ещё случаях получаются бесконечномерные гомологии?

[g______d]

Очень похоже на группы кобордизмов.

[Slav-27]

Вроде есть какая-то особо хитрая теория гомологий через эти ваши кобордизмы, но она не про вложения, и там у точки нетривиальные гомологии в бесконечном количестве размерностей...

-- 21.03.2018, 22:56 --

А так ну совершенно естественная же идея. Неужели никто так не делал?

[g______d]

Slav-27 в сообщении #1298896 писал(а):

А так ну совершенно естественная же идея. Неужели никто так не делал?

Ну это не то что бы ответ, но я так понимаю, что теории гомологий/когомологий более-менее классифицированы. Нужно просто понять каким именно аксиомам удовлетворяет Ваша теория и попробовать доказать эквивалентность какой-то из известных.

-- Ср, 21 мар 2018 12:11:19 --

Slav-27 в сообщении #1298889 писал(а):

А оно умеет быть связной компонентой границы (например цилиндра над $\mathbb CP^2$). Может быть, есть вложенные подмногообразия $p$ и $q$ в $\mathbb R^8$, диффеоморфные $\mathbb CP^2$, и подмногообразия $M_1$ и $M_2$, такие что $\partial M_1= p \sqcup q$, а $\partial M_2= p \sqcup -q$; тогда $p=\partial(\frac12M_1 +\frac12M_2)$, и всё хорошо.

По-видимому, нужно посмотреть на доказательство того, что $\mathbb CP^2$ не является границей и не следует ли из него случайно запрет на ситуацию из последней фразы. В частности, достаточно ли показать, что $\mathbb CP^2$ не кобордантно минус себе? Я не знаю, у меня тоже достаточно наивные соображения.

[Slav-27]

g______d в сообщении #1298902 писал(а):

нужно посмотреть на доказательство того, что $\mathbb CP^2$ не является границей

Да... Чтобы компактное ориентированное многообразие (возможно несвязное) было границей ориентированного компактного многообразия, необходимо чтобы все его числа Понтрягина были ноль. Смотрите Милнор, Сташеф "Характеристические классы" про числа Понтрягина, §16, там как раз разобран пример с $\mathbb CP^{2n}$.

Числа Понтрягина для несвязного объединения суммируются, а при смене ориентации меняют знак. Распространим числа Понтрягина на наши цепи: определим $I$-е число Понтрягина $P_I$ для цепи $\sum\limits_j \alpha_j c_j$ как $\sum\limits_j \alpha_j P_I(c_j)$. Тогда у любой границы все числа Понтрягина ноль. Доказательство: $P_I(\partial c)=\sum\limits_j\alpha_j P_I(\partial c_j)$, а $P_I(\partial c_j)=0$.

А у $\mathbb CP^2$ не все числа Понтрягина ноль. Значит, не граница она, зараза.

-- 23.03.2018, 10:58 --

Ох жуть какая...
Как бы это исправить?