Сто вещественных чисел записаны по кругу...

[Ktina]

Сто вещественных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке. Какие числа могут быть записаны?

[gris]

В глаза бросаются одни нули или одни двойки.

[Ktina]

gris в сообщении #1298895 писал(а):

В глаза...

А в мозг?

[arseniiv]

Как бы я решал: Нам надо, чтобы последовательность $(x_n, y_n)$, где $(x_{n+1},y_{n+1}) = F(x_n, y_n) = (\sqrt{x_n + y_n},\sqrt{x_n + \sqrt{x_n + y_n}}}$ была ограниченной при выбранной точке $(x_0, y_0)$ (иначе мы точно не сможем намотать её по кругу). Надо исследовать поведение нелинейного оператора $F$ — может, требование ограниченности последовательности достаточно сильно, чтобы оставить легкопроверяемое множество кандидатов.

[mihaild]

Чисел, больших $2$, нет (иначе возьмем максимальное число; его квадрат больше, чем удвоенное оно, так что одно из следующих чисел больше).
Сумма всех квадратов равна удвоенной сумме всех чисел, $\sum x_i^2 = \sum 2 x_i$.
Если отрицательных чисел нет, то $x_i \in [0; 2]$ и $x_i^2 \leqslant 2 x_i$, причем равенство достигается только в $\{0, 2\}$. Так что если хотя бы одно число попадает в $(0; 2)$, то сумма квадратов меньше суммы удвоенных чисел. Таким образом, без отрицательных чисел подходят только варианты имени gris.
С отрицательными пока не знаю.

[TOTAL]

$a_i>0$
$a_{i+1}<0$
$a_{i+2}=a_{i}^2-a_{i+1}>0$
$a_{i+3}=a_{i+1}-(a_{i}^2-a_{i+1}^2)<0$

Если $a_{i+1}$ - наименьшее отрицательное число, то

$a_i=t>0$
$a_{i+1}=-t<0$
$a_{i+2}=t^2+t>0$
$a_{i+3}=-t<0$
$a_{i+4}=t^4+2t^3+t^2+t>0$
$a_{i+5}=-t^4-2t^3-t<a_{i+1}$

[gris]

А почему сто чисел? Возьмём одно. Получим уравнение $x^2=x+x$, у которого как раз два корня $0$ и $2$. Далее перейдём сразу к $n$ числам. Предположим, что все числа одинаковы. Имеем то же самое уравнение с теми же корнями. ТС, конечно, хотел нас заманить в отрицательные числа. Смотрим против часовой стрелки. Там должен стоять квадрат. Так как "все нули" уже отделили, то получаем, что неположительное число не может стоять рядом с неположительным, и даже с положительным, меньшим по модулю. arseniiv так и организовывал движение пар. Единственное, что перед корнями может появляться минус и мы организовываем реккуренцию от двух начальных чисел:
$a_1,a_2; a_n=\pm\sqrt{a_{n-2}+a_{n-1}}$. Получается ветвление, которое может внезапно прерваться.
Например: $0,1,-1,0.$ А так: $0,1,1,1.41,1.55...$. Вразнос пошли. И даже минус не выбрать — останов на следующем шаге. Или за двойкой наладится?
Ещё: $0.5, -0.2, 0.55, 0.59, 1.14...$ Опять вразнос. А с большими числами?
$120, 136, 16, 12.1, 5,32...$.
А, вот и написали уже.