Применение производной к исследованию графиков функций.

[XRP]

Здравствуйте! Есть два вопроса.

1) Хотелось бы разобраться с применением производной к исследованию графиков функций.

Нарисовал в Геогебре вот такой график. Пусть это будет график функции и нужно найти точки экстремума.



Ясно, что точка $x=6$ будет экстремумом (касательная параллельна оси абсцисс). Но вот возникает вопрос, а является ли точка $x= 12,2$ точкой экстремума?
Просто исходя из определения экстремума -- да является, но вот не очень понятно -- как проходит касательная в этой точке?

А если бы на картинке был бы график производной функции, то было бы три точки экстремума, потому как пересекая ось абсцисс, производная меняет знак. Но вот что будет в той точке $x=12,2$ с графиком функции, как функция может там себя вести?

И еще, не очень понятно -- как понимать поведение функции в точке $x=1$, это ведь не точка экстремума, но вот какой-то странный резкий поворот, выпуклость меняется, видимо вторая производная меняет знак, если это график функции. Но что с первой производной в этой точке?

2) Какой формулой, хотя бы примерно, можно задавать вот такого плана функции (как ниже на картинке)? Я пытался многочленами подобрать, но там столько экстремумов не получается создавать.

[thething]

В определении точки экстремума нет ничего о касательной, а есть условие $f(x)\geqslant{f(a)}$ (ну или $\leqslant$) в некоторой окрестности. Точка "излома" под это определение попадает, хотя касательной в этой точке и не существует

[provincialka]

XRP в сообщении #1298536 писал(а):

но вот не очень понятно -- как проходит касательная в этой точке?

Никак не проходит. А должна?

XRP в сообщении #1298536 писал(а):

график производной функции

XRP в сообщении #1298536 писал(а):

что будет в той точке $x=12,2$ с графиком функции

Во втором отрывке под "функцией" имеется в виду производная, её график? Он будет иметь разрыв.

[thething]

XRP в сообщении #1298536 писал(а):

И еще, не очень понятно -- как понимать поведение функции в точке $x=1$, это ведь не точка экстремума, но вот какой-то странный резки поворот, выпуклость меняется, видимо вторая производная меняется, если это график функции. Но что с первой производной в этой точке?

Первой производной не существует, т.к. это точка "излома" (производная слева не совпадает с производной справа)

-- 20.03.2018, 17:23 --

thething в сообщении #1298537 писал(а):

2) Какой формулой, хотя бы примерно, можно задавать вот такого плана функции (как ниже на картинке)? Я пытался многочленами подобрать, но там столько экстремумов не получается создавать.

Интерполируйте

[XRP]

Ну а как интерполировать, я не понимаю....

Спасибо, начало проясняться)) А что все-таки будет при $x=1$?

[thething]

XRP в сообщении #1298543 писал(а):

Ну а как интерполировать, я не понимаю....

Многочлен Лагранжа или Ньютона

XRP в сообщении #1298543 писал(а):

А что все-таки будет при $x=1$?

Производной не существует, я же написал

-- 20.03.2018, 17:40 --

XRP в сообщении #1298536 писал(а):

А если бы на картинке был бы график производной функции, то было бы три точки экстремума, потому как пересекая ось абсцисс, производная меняет знак. Но вот что будет в той точке $x=12,2$ с графиком функции, как функция может там себя вести?

Если бы это изначально был график производной, то в точке 12,2 она (производная) была бы непрерывна, т.е. сама функция была бы гладкая. При этом второй производной в этой точке бы не существовало, и у самой функции был бы перегиб, т.к. вторая производная при переходе через эту точку меняла бы знак.

[XRP]

Спасибо, понятно, только есть вопрос

thething в сообщении #1298546 писал(а):

она (производная) была бы непрерывна, т.е. сама функция была бы гладкая

А что дает эта гладкость, то есть имеется ввиду, что у самой функции не будет таких "углов"? (перед тем как задавать вопрос, погуглил -- что значит гладкая, это как раз непрерывная производная значит, что Вы и написали, но что это дает на практике?)

[arseniiv]

Да, непрерывность $f'$ на множестве $A$ означает, что касательная в каждой точке графика ограничения $f$ на $A$ существует и, собственно, имеет непрерывный угловой коэффициент, чему эквивалентно, что у неё непрерывный угол наклона, чему эквивалентно, что она «не скачет» — непрерывно движется по плоскости. Всё по определению — разве что последнее пока придётся понимать неформально, потому что как строго понимать непрерывность перемещения прямой по плоскости — это уже весьма после, это уже кусок топологии, которая в обычный курс матанализа не попадает.