Задача с МФО 2

[Rusit8800]

Моя сложность заключается в том, что не удается строго вывести уравнение для нахождения температуры в произвольный момент времени:

$$\[C{m_0}(T - {T_0}) = C\alpha t({T_ + } - T)\]$$

где ${T_ + }$ - температура горячей воды, а $\alpha$ - скорость ее заливания. Моя логика следующая: рассмотрим малое приращение $\[dT\]$ температуры всей смеси за счет малого добавления $\[dm\]$ горячей воды:

$$\[cmT + c{T_ + }dm = c({m_0} + dm)(T + dT)\]$$

Поскольку

$$\[\begin{gathered} dm = \alpha dt \hfill \\ m + dm = \alpha (t + dt) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

, то получим:

$$\[mT + \alpha {T_ + }dt = \alpha Tt + \alpha Tdt + \alpha t \cdot dT + dTdt\]$$

Что с этим делать дальше? Как найти $T(t)$?

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1297798 писал(а):

Что с этим делать дальше?

Вначале нужно поправить второе уравнение (почему в левой части $m$, а в правой $m_0$, хотя по смыслу это одно и то же?).
Дальше отбросить "дважды маленькое" слагаемое (последнее), разделить переменные и проинтегрировать.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1297799 писал(а):

Вначале нужно поправить второе уравнение (почему в левой части $m$, а в правой $m_0$, хотя по смыслу это одно и то же?).

$m_0$ - начальная по приведенному графику, а $m$ - "произвольная" начальная, то есть не обязательно численно равна $m_0$. Но если считать, что $m_0$ - параметр, то разницы нет.

-- 16.03.2018, 18:34 --

DimaM в сообщении #1297799 писал(а):

разделить переменные

А как из разделять: все слагаемые левой части содержат и $t$ и $T$? Причем некоторые из низ стоят под знаком дифференциала - это ухудшает ситуацию. На этом я и запнулся.

[waxtep]

Rusit8800, в принципе, можно обойтись без нахождения $T(t)$ в явном виде. У Вас есть график и самое первое уравнение, - этого вполне достаточно для нахождения $T_+$ (и даже $\alpha$).
Если Вам все же интересно найти явный вид $T(t)$, предлагаю четко определиться, что именно Вы обозначаете буквой $m$, и проверить, во всех ли уравнениях это обозначение соответствует одной и той же величине, согласно физическому смыслу задачи.

[Rusit8800]

waxtep в сообщении #1297873 писал(а):

Если Вам все же интересно найти явный вид $T(t)$, предлагаю четко определиться, что именно Вы обозначаете буквой $m$, и проверить, во всех ли уравнениях это обозначение соответствует одной и той же величине, согласно физическому смыслу задачи.

$m$ - начальная масса воды в калориметре.

[waxtep]

Rusit8800 в сообщении #1297907 писал(а):

$m$ - начальная масса воды в калориметре.

То есть, $m=m_0$? Наверное, все таки нет, какой смысл обозначать одну и ту же величину двумя разными переменными

[Rusit8800]

Смысла нет. Так что там с разделением переменных? Как это сделать,если есть переменные, которые стоят под знаком дифференциала?

[waxtep]

Rusit8800 в сообщении #1297933 писал(а):

Смысла нет.

Со смыслом полезнее и приятнее.
В этой задаче имеется как минимум два осмысленных способа введения $m$ - как текущее (то, есть, в данный момент $t$) значение массы воды в калориметре, либо, как текущее же значение массы долитой воды. Предлагаю выбрать любой из них, расписать в явном виде $m=m(t)$ и $dm$ и, исходя из этого, переписать последнее уравнение.
Уже после этого Вы сможете вынести все, что зависит от $T$ в левую часть, а, то что от $t$ - в правую, благополучно разделить переменные и проинтегрировать уравнение.

[waxtep]

Rusit8800, давайте попробуем в лоб Ваши уравнения решить, не заморачиваясь смыслом, и посмотрим, к чему это приведет.

Rusit8800 в сообщении #1297798 писал(а):

Поскольку

$$\[\begin{gathered} dm = \alpha dt \hfill \\ m + dm = \alpha (t + dt) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

, то получим:

$m=\alpha t$, подставим в Ваше последнее уравнение и уберем "дважды маленькое" слагамое $dTdt$:

$$\alpha T_+dt=\alpha Tdt+\alpha tdT$$

Чудесным образом сокращается $\alpha$ (это уже повод призадуматься: скорость изменения температуры воды не зависит от скорости ее долива) и переменные делятся:

$$\frac{dt}t=\frac{dT}{T_+-T}$$

Интегрируя, получаем

$$T=T_+-\frac k t$$

где $k$ - некоторая константа. Нравится ли Вам такой ответ?

[Rusit8800]

waxtep в сообщении #1297957 писал(а):

$$\alpha T_+dt=\alpha Tdt+\alpha tdT$$

Стоп, вы потеряли кучу слагаемых:

$$\[mT + \alpha {T_ + }dt = \alpha Tt + \alpha Tdt + \alpha t \cdot dT$$

[waxtep]

Rusit8800 в сообщении #1297961 писал(а):

Стоп, вы потеряли кучу слагаемых

Но ведь у Вас $m=\alpha t$, по крайней мере, из двух предпоследних уравнений это явно следует. И в силу этого, два слагаемых без дифференциалов благополучно сокращаются. Так тоже можно, в этом случае $m(t)$ имеет смысл массы долитой в калориметр за время $t$ воды. Попробуйте аккуратно повторить вывод финального уравнения в дифференциалах, держа в голове, что $m$ у Вас именно это обозначает. После чего сможете и переменные разделить, и проинтегрировать, и явный вид $T(t)$ получить, точно так же, как это сделал я с ошибочным уравнением. Пока явно затык в получении корректного уравнения

[Rusit8800]

waxtep в сообщении #1297965 писал(а):

Но ведь у Вас $m=\alpha t$, по крайней мере, из двух предпоследних уравнений это явно следует. И в силу этого, два слагаемых без дифференциалов благополучно сокращаются.

Ах да, я тупанул.

[Rusit8800]

waxtep в сообщении #1297957 писал(а):

Интегрируя, получаем

$$T=T_+-\frac k t$$

Это мне удалось сделать только с помощью wolfram alpha. Правая часть

$$\frac{dt}t=\frac{dT}{T_+-T}$$

- табличный интеграл?

-- 18.03.2018, 11:59 --

И, кстати, тут что-то не сгодится, если подставить данные из задачи, то $T_+=46.6$, а не $80$.

[waxtep]

Кончно, не сходится, ведь мы решали неправильно составленное уравнение, - вот и ответ получился так себе.
Rusit8800, давайте составим правильно? Вы же можете найти температуру воды при смешивании двух ее порций $m_1,T_1$ и $m_2, T_2$? (после установления равновесия). Вот и попробуйте это сделать а) если одна порция - вода, залитая в калориметр исходно, а вторая - долитая к моменту времени $t$ б) если одна порция - вода, залитая в калориметр к моменту времени $t$, а вторая - малое количество $dm$, доливаемое в малом промежутке времени между $t$ и $t+dt$.
Трюк с разделением переменных в варианте (б) постараюсь показать, но, давайте начнем с физически верного уравнения.

[GraNiNi]

Rusit8800 в сообщении #1297798 писал(а):

Моя сложность заключается в том, что не удается строго вывести уравнение для нахождения температуры в произвольный момент времени:

А зачем?
Задача рассчитана на уровень знаний без дифференциального исчисления.

Все данные берутся из графика.
Берем две точки: 200 с и 500 с , которым соответствуют 30 и 40 градусов равновесной температуры, и для них составляем два уравнения теплового баланса.
При решении этой системы и находим искомые величины - температуру добавляемой воды и скорость ее добавления (80; 0,1).