Задача о произведении четырех матриц

[SomePupil]

Задача из недавно прошедшей олимпиады.

Пусть $m, n, p, q \ge 1$ есть натуральные числа и матрицы $A \in \mathcal M_{m,n}(\mathbb R), B \in \mathcal M_{n,p}(\mathbb R), C \in \mathcal M_{p,q}(\mathbb R), D \in \mathcal M_{q, m}(\mathbb R)$ удовлетворяют соотношениям

$$A^t = BCD,\;\; B^t = CDA,\;\; C^t = DAB,\;\; D^t = ABC.$$

Доказать, что $(ABCD)^2 = ABCD$.

[SomePupil]

Подсказку дать? Или кто-то решает?

[DeBill]

Матрица $P=ABCD = D^tD$ симметрична, неотрицательно определена, так что ее спектр вещественный, неотрицательный, и она - диагонализируется. Но $P^3 =ABC \cdot DAB \ cdot CDA \cdot BCD = D^t C^t B^t A^t = P^t$, так что $P^3 =P^t =P$. Поэтому, для любого ее собственного значения $\lambda$ имеем $\lambda^3 =\lambda$, так что (вещественность и неотрицательность!) $\lambda =0$ или $\lambda =1$. Поэтому $P$ - проектор (клеток то нету)

[SomePupil]

DeBill