Сходимость последовательности в пространстве

[hollo]

Нашел разбор такой задачи:
Пространство С[0,1]
Последовательность такая:
$b_n(t)=1-nt$ где $t \in[0,\frac{1}{n}]$
$b_n(t)=tn-1$ где $t \in[\frac{1}{n},\frac{2}{n}]$
Далее $b_n(t)=1$ для любого $t>\frac{2}{n}$
$b_n(t) $ сходится к $y(t)=1$

Метрика: $\max\left\lvert 1-nt-1 \right\rvert + \max\left\lvert tn-1-1 \right\rvert=2 \Rightarrow$ сходится
Почему из метрики следует, что сходимости нет?

[mihaild]

А напишите определение метрики в этом пространстве и сходимости по ней.

[hollo]

mihaild
Определение метрики C[a,b]:
$\rho(f,g)=\max\limits_{a\leqslant t \leqslant b}\left\lvert g(t)-f(t) \right\rvert$
Cходимость:
$\forall\varepsilon>0 \exists N: \forall n \geqslant N \rho(b_n,y(t))<\varepsilon \Longleftrightarrow b_n\in U_\varepsilon (y(t)) $

[thething]

hollo в сообщении #1297290 писал(а):

$\max\left\lvert 1-nt-1 \right\rvert + \max\left\lvert tn-1-1 \right\rvert=2 \Rightarrow$ сходится

Не понял, откуда два максимума?
Составьте функцию $\left\lvert{b_n(t)-y(t)}\right\rvert$ и найдите ее точку максимума при любом $n$. Можете графики порисовать при различных $n$
P.s. Сходимость в $C[0,1]$ эквивалентна равномерной сходимости, но это Вам в принципе не очень понадобится.

[hollo]

thething
Я разбил $b_n$ на две части.

[thething]

Теперь вычтите единицу, возьмите модуль и найдите максимум получившейся функции.. При разных $n$

-- 14.03.2018, 18:07 --

hollo в сообщении #1297353 писал(а):

Я разбил $b_n$ на две части.

Так делать не нужно. Не в этом случае, по крайней мере

[hollo]

thething
там как раз и получается, что для первой части максимум будет при $\frac{1}{n}=\left\lvert -1\right\rvert=1$
для второй части максимум при $\frac{1}{n}=\left\lvert -1\right\rvert=1$

[thething]

Еще раз: вот Вы нарисовали график. Что произойдет с ним при вычитании из этой функции единицы? Что произойдет потом при взятии модуля? Какой получится максимум?
Функцию рассматривайте как единое целое, не надо ничего разбивать!

[hollo]

thething
Если вычесть 1, то функция опустится на 1 вниз по оси $b_n(t)$. После взятия модуля та часть графика, что ниже 0 "отзеркалится" вверх. Максимум будет 1

[thething]

Все верно. Вопрос

hollo в сообщении #1297290 писал(а):

Почему из метрики следует, что сходимости нет?

остался актуален или прояснился?

-- 14.03.2018, 18:28 --

Дополнение: если хотите все же разбивать на части, то правильно будет не сумму максимумов писать, а брать максимум среди максимумов на этих частях

[hollo]

thething

thething в сообщении #1297362 писал(а):

остался актуален или прояснился?

Все равно актуален

[thething]

Указанное расстояние должно стремиться к нулю, тогда мы говорим, что есть сходимость в метрическом пространстве. При стремлении куда-либо в другое место сходимости в пространстве нет.

[hollo]

thething
Спасибо за помощь.

(Оффтоп)

даже стыдно, что забыл\не понял простейшего определения