Разностное нелинейное уравнение первого порядка

[WalkRigh]

Дано разностное нелинейное уравнение первого порядка:

$ x_{t+1} = ax^\alpha_t + bx_t $, где $ a > 0$ , $0 < b < 1$,$ 0<\alpha < 1$

Находим две точки равновесия : $ x^*_1 = 0, x^*_2= (\frac{1-b}{a})^\frac{1}{\alpha-1}$

Затем, проверяем эти точки:

$f'(x^*_1) = 0 < 1$, значит точка локально устойчивая.

А со второй возникли проблемы:

$f'(x^*_2) = \alpha - \alpha b + b $, И про знак ничего сказать нельзя здесь.

Подскажите, как исследовать вторую точку?

[dsge]

WalkRigh в сообщении #1297168 писал(а):

$f'(x^*_1) = 0 < 1$

??? Вы уверены?

[WalkRigh]

dsge
Ой, и правда, конечно же первая производная в $x^*$ есть $b$.

[DeBill]

WalkRigh в сообщении #1297171 писал(а):

Ой, и правда, конечно же первая производная в $x^*$ есть $b$.

И опять - нет.

-- 13.03.2018, 18:51 --

WalkRigh в сообщении #1297168 писал(а):

$f'(x^*_2) = \alpha - \alpha b + b $, И про знак ничего сказать нельзя здесь.

Да почему? Положительно это число. И меньше 1 - проверьте явно (а можно и из картинки это увидеть)
Так что динамика на всей полуоси - вполне конкретно и глобально определена.
Можно посмотреть расстояние от текущей точки до второй неподвижной, и попробовать доказать, что оно - убывает (и тогда - из отсутствия прочих неподвижных) получится, что оно стремится к нулю...

[WalkRigh]

DeBill
$(ax^\alpha+bx)' = a \alpha x^{\alpha -1} + b$
При $x=0$ это не $b$?

[DeBill]

Нет, это (плюс) бесконечность - потому как альфа минус один - отрицательно

[WalkRigh]

DeBill
$\alpha < 1 $
$\alpha(1-b) < (1-b)$
$\alpha - \alpha b + b < 1$
А тогда если при $x^*=0$ есть плюс бесконечность, тогда можно сказать, что эта точка неустойчивая?

[DeBill]

WalkRigh в сообщении #1297181 писал(а):

можно сказать, что эта точка неустойчивая?

Да, конечно. Но гораздо интереснее доказать глобальную устойчивость другой