Сумма двенадцатых степеней, уменьшенная на 4

[Ktina]

Доказать, что сумма двенадцатых степеней четырёх простых чисел, уменьшенная на 4, является составным числом.

[waxtep]

(Оффтоп)

если нет двойки - делится на $2$; если нет пятерки - делится на $5$; если нет семерки - делится на $7$; если нет тройки - делится на $3$; наконец, если все они есть - все равно составное

[urod]

Пусть Х - сумма, уменьшенная на 4.

Если все четыре простых числа нечётные, их двенадцатые степени тоже нечётные, значит, Х чётное.
Если все они не делятся на 3, их двенадцатые степени делятся на 3 с остатком 1, значит, Х делится на 3.
Если все они не делятся на 5, их двенадцатые степени делятся на 5 с остатком 1, значит, Х делится на 5.
Если все они не делятся на 7, их двенадцатые степени делятся на 7 с остатком 1, значит, Х делится на 7.
Наконец, по малой теореме Ферма, если все они не делятся на 13, их двенадцатые степени делятся на 12 с остатком 1, значит, Х делится на 13.

Чтобы Х было простым, среди простых чисел должно быть по одному делящемуся на 2,3,5,7,13. Значит, среди них должны быть все эти числа. Но их всего-то четыре, так что это невозможно.