6 загадочных чисел

[Ktina]

Можно ли, использовав каждую из цифр от 0 до 9 ровно по разу, записать 6 ненулевых чисел так, чтобы каждое (кроме, разумеется, первого) делилось на предыдущее?

[Yadryara]

Можно, если разрешить ставить $0$ в начале и, начав с числа $0123456789$, последовательно умножая его на $2$ получить ещё $5$ подходящих чисел.

[Ktina]

Yadryara в сообщении #1296313 писал(а):

Можно, если разрешить ставить $0$ в начале и, начав с числа $0123456789$, последовательно умножая его на $2$ получить ещё $5$ подходящих чисел.

Мне кажется, Вы условие задачи не совсем поняли. Каждую из десятичных цифр можно использовать только один раз. Вот пример для 5 чисел, составленных подобным образом:
1, 2, 4, 8, 530976.

[waxtep]

Нельзя, доказать могу только методом нудного перебора. Однако... поскольку это одно из моих любимых занятий
Перебирать будем по количеству чисел, меньших $10$:
1. $a,b,cd,ef,gh,ik$: обязательно $k=0$ и решений нет (перебираем $i=9,7$);
2. $a,b,c,de,fg,hik$: обязательно $a=1$ и перебираем $6$ возможных комбинаций $(b,c)$;
3. $a,b,c,d,ef,ghik$ или $a,b,c,d,efg,hik$: первые четыре числа $(1,2,4,8)$ и $k=0$, и тоже ничего хорошего.

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!

[urod]

1,2,4,8,57936,0

[grizzly]

urod в сообщении #1297039 писал(а):

...,0

Ktina в сообщении #1296283 писал(а):

записать 6 ненулевых чисел

[urod]

Тогда нельзя. Пусть числа А1, А2, ..., А6

1. А2 однозначное, иначе цифр на всех не хватит.

2. А3 однозначное вот почему. Если оно не однозначное, то чтобы цифр на всех хватило, все числа с третьего по шестое должны быть двузначными. Это возможно только если А4=2А3, А5=2А4, А6=2А5. Чтобы А6 было двузначным, А3 должно быть не более 12. Значит, возможные пары А3 и А4: (10,20), (11,22), (12,24). Все используют какую-то цифру дважды.

4. Если А4>=50, то последние два не менее чем трёхзначные, и цифр на всех не хватит.

Значит, А1<=9, А2<=9, А3<=9, А4<=49.

5. Поскольку А1 не больше четверти от А3, оно 1 или 2. Если А1=2, то все числа чётные, следовательно кончаются на чётную цифру. Но чётных цифр всего пять. Значит, А1=1.

6. Поскольку А2 не больше половины от А3, оно равно 2,3 или 4.

7. Если А2=3, то все следующие делятся на 3. Значит, их суммы цифр делятся на 3. Но сумма их цифт равна 41. Противоречие.

8. Получается, что А2=2 или 4. Оно, а значит, и все следующие чётные. Значит, все числа, кроме первого, кончаются на чётную цифру. Но чётных цифр всего 5, значит, они все в конце чисел.

9. Если число кончается на 0, то все следующие тоже кончаются на 0. Значит, на 0 кончается А6. Другие его цифры нечётные, значит, оно равно нечётному, умноженному на 10. Значит, оно не делится на 4. Значит, все числа не делятся на 4.

10. А2 и А3 - чётные, не делящиеся на 4, из одной цифры. Они могут быть только 2 и 6.

11. А4 делится на 6, не делится на 4, и не более 49. Это может быть только 6, 18, 30, 42. Все эти числа, кроме 30, используют цифры из А1,А2,А3. А4=30 тоже невозможно, потому что на 0 кончается А6. Так что противоречие.

[Ktina]

urod
И Вам большое спасибо!