Сходимость последовательности и ее предел.

[an2ancan]

Здравствуйте.

Есть ряд $a_{n + 1} = \int_{0}^{a_n}(1 + \frac{1}{4} \cos^{2n + 1} t)dt$. Докажите, что для произвольного $a_0 \in (0, 2 \pi)$ последовательность имеет предел и найти его.

Я наткнулся на такое решение: https://math.stackexchange.com/question ... os2n-1-tdt

Но с определенного момента, я его не понял. Я напишу то, что я понял (больше для себя, чем для пользы дела), а вас попрошу объяснить, то что я не понял и то, что я понял неверно.

И так, $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{4}\int_0^{a_n} \cos^{2n+1} t \,dt $. Далее $\cos^{2n+1} t $ - положителен при $n \in (0; \frac{\pi}{2})\cup (\frac{3 \pi}{2}; \pi)$ и отрицателен при $n \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3 \pi}{2})$

Из-за симметри косинусов,

$\int_0^{\pi} \cos^{2n+1} t\,dt = 0 = \int_0^{2\pi} \cos^{2n+1} t\,dt,$

Выходит, что при $a_n = \pi \Rightarrow a_{n+1} = a_{n}$,
при $a_n \in (0; \pi) \Rightarrow a_{n+1} > a_{n}$
при $a_n \in (\pi; 2\pi) \Rightarrow a_{n+1} < a_{n}$

Так же, при $a_n \in (0; \pi):$
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{4}\int_0^{a_n} \cos^{2n+1} t\,dt = -\frac{1}{4}\int_{a_n}^{\pi} \cos^{2n+1} t\,dt < -\frac{1}{4} \int_{a_n}^{\pi} (-1)^{2n+1}\,dt = \frac{1}{4}(\pi - a_n) \rightarrow a_{n+1} < a_n + \frac{1}{4}(\pi - a_n)$[/math].

Введем $\Delta = \pi - a_n.$ Тогда
$a_{n+1} < \pi - \Delta + \frac{\Delta}{4} = \pi - \frac{3}{4} \Delta \Rightarrow a_{n+1} <\pi $

При $a_n \in (\pi; 2\pi) :$
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{4}\int_{\pi}^{a_n} \cos^{2n+1} t\,dt > \frac{1}{4} \int_{\pi}^{a_n} (-1)^{2n+1}\,dt = -\frac{1}{4}(a_n-\pi) \Rightarrow a_{n+1} > a_n -\frac{1}{4}(a_n-\pi)$
Введем $\Delta = a_n -\pi .$ Тогда
$a_{n+1} > \pi + \Delta - \frac{\Delta}{4} = \pi +\frac{3}{4} \Delta \Rightarrow a_{n+1} >\pi $

Получается, что независимо от $a_0$ ряд ограничен и монотонен, следовательно сходится.

Далее автор пишет, предположим, что $a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n < \pi $

Тогда, если $a \leqslant \pi/2$ для достаточно больших $n$
$ a_{n+1} - a_{n} &> \frac{1}{4} \int_0^{\frac{1}{2n+1}} \cos^{2n+1} t\,dt \\ &> \frac{1}{4}\int_0^{\frac{1}{2n+1}} (1-t^2)^{2n+1}\,dt \\ &> \frac{1}{4} \int_0^{\frac{1}{2n+1}} 1 - (2n+1)t^2\,dt \\ &= \frac{1}{4}\biggl(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{3(2n+1)^2}\biggr) \\ &> \frac{1}{8(2n+1)}, $

Это для меня неясно. Откуда взялся предел $\frac{1}{2n+1}$? Что за $(1-t^2)$ под интегралом?

[thething]

Гляньте, недавно была Ваша тема topic125021.html

-- 07.03.2018, 19:24 --

an2ancan в сообщении #1295869 писал(а):

Что за $(1-t^2)$ под интегралом?

Получилось из $\cos{t}\geqslant{1-t^2}$