Существуют ли яркие примеры применения "связанной" индукции?

[fractalon]

Математическую индукцию можно, как известно, проводить по разному. Можно начать с $P(1)$ и доказть $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Можно начать с $P(p)$ для простых $p$ и доказать $P(p) \land P(q) \Rightarrow P(pq)$. Или, опять же, с $P(1)$ через $P(n) \Rightarrow P(2n)$ и $P(n) \Rightarrow P(n-1)$, и так далее... Вариантов множество, и двумерную проводят, и какую угодно.
А известны ли случаи, когда два относительно далёких друг от друга утверждения $P(n)$ и $Q(n)$ внезапно доказывались бы с помощью чего-то типа $P(n) \Rightarrow Q(n+1)$ и $Q(n) \Rightarrow P(n+1)$ (на базе $P(1)$ и $Q(1)$)?
Ясно, что вопрос этот невозможно поставить формально - всегда можно объявить какой-то промежуточный этап доказательства $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ отдельным утверждением, а в любом примере склеить $P(n) \land Q(n)$ и сказать, что никаких тут не два утверждения. Но потому я и помещаю вопрос в дискуссионные темы. Интересно узнать случай, когда $P$ и $Q$ ещё до появления доказательств оба существовали в сознании людей и воспринимались именно как разные цели.