Теорема Хиз-Брауна о суммах обратных по модулю

[fractalon]

Изучаю суммы Клоостермана. В этой лекции на 28:15 начинает доказываться следующая теорема (на этом моменте её формулировка как раз видна на доске)

Цитата:

Если $\varepsilon \in (0;\frac{1}{2})$, $q > q_0(\varepsilon)$ и $J_q(X)$ - число решений уравнения $\overline{x_1}+\overline{y_1} \equiv \overline{x_2}+\overline{y_2} \pmod q$ при $1 \le x_1,x_2,y_1,y_2 \le X$, то $J_q(X) \le X^2 \left({\frac{X^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{q}}+1}\right)$

В её доказательстве мне видится очень чёткая ошибка - на моменте 48:33, когда лектор говорит, что если $UV > q$, то из $\lambda (u_1 - u_2) \equiv v_1 - v_2 \pmod{q}$ при $(u_1,v_1) \not = (u_2,v_2), u_i \le U, v_i \le V$ следует одновременно $u_1 \not = u_2$ и $v_1 \not = v_2$. Это явно не так если $\lambda$ имеет большой общий делитель с $q$ - тогда небольшое различие величин $u_1$ и $u_2$ даст один и тот же вычет вида $\lambda u_i - v_i$ при одних и тех же $v_1$ и $v_2$.
Конкретный контрпример: $q=p^4$, $U=V=p^2$, $\lambda=p^3$.
А взаимопростота $\lambda$ и $q$ в лекции не просто не предполагается, а самый этот момент доказательства рассматривает случай нетривиального общего делителя в определённых границах.

Пытался долго исправить эту ошибку, как-то подладить, добавить условие $V<\frac{q}{(\lambda,n)}$ вместо $V<q$, или перейти к рассмотрению сравнений не по модулю $q$, а как-то тоже связанному с $(\lambda,q)$ - ничего не помогло.

Подскажите, пожалуйста, где можно прочитать корректное доказательство этой теоремы (на эту тему в гугле тоже обыскался уже) или как исправить эту ошибку прямо с ходу.

[grizzly]

fractalon
Не вникая глубоко в суть вопроса, попытаюсь помочь с поисками первоисточников (не уверен, правда, что Вам будет от такой помощи польза, поскольку дальше первых трёх ссылок в гугле я не ходил).

Во-первых, сама статья упомянутого Бургейна, в которой визуально при беглом просмотре обнаруживаются очень похожие вещи. (Я думаю, осознать правильность подходов важнее, чем разобраться с конкретной технической ошибкой.) Статья очень детальная и не выглядит совсем сложной.
Во-вторых в этой же статье есть ссылка на первоисточник Хиз-Брауна, который тоже легко найти, кажется.

(Оффтоп)

Если уверены в своей правоте, то на Вашем уровне понимания уже будет не лишним связаться с лектором -- он свои координаты не скрывает. С большой вероятностью польза может быть взаимной.

[RIP]

Да, лектор здесь немножко зевнул. Вообще говоря, можно лишь утверждать, что $u_1\ne u_2$. Для того, чтобы утверждать, что $v_1\ne v_2$, нужно потребовать $V>\delta=(\lambda,q)\iff U-1<q/\delta$. Я мельком глянул дальше — для оценки $T_2$ берётся $V=\delta$, а для оценки $T_3$ — $V=\bigl\lfloor\sqrt{q/X}\bigr\rfloor\geqslant\delta$. Если в обоих случаях добавить $+1$, то, вроде бы, должно всё срастись. Но внимательно я не смотрел.

-- Ср 2018-03-07 01:50:28 --

Впрочем, и для $V=\delta$ можно изловчиться: надо взять $U=q/\delta$. Тогда либо $\lambda u-v$ пробегает все значения по модулю $q$ (в частности $0$), либо найдутся совпадающие значения — и дальше стандартно.

[fractalon]

Всем спасибо за советы! Я разобрался. Путаница произошла из-за банального перепутывания $V$ и $U$, вот я и думал, что для $\lambda v - u$ должно быть $V < \frac{q}{\delta}$, а лектор перескочил случайно на $\lambda u - v$, и получилось, что $\delta < \frac{q}{\delta}$ не сходится. Он там даже говорил, что что-то перепутал, но я как-то не обратил внимания...