От суммы к интегралу. Просто по определению?

[ursa]

Такой вот незамысловатый вопрос.
Нужно убедиться в правомерности перехода от суммы
$\frac{1}{\pi}\sum\limits_{a< k\leqslant b}\operatorname{Im}(F(e(k),z))$ к интегралу $\frac{1}{\pi}\int_{a}^{b}\operatorname{Im}F(e(k),z) dk$ ?
Здесь $F(e(k),z)$ - Фурье-образ квантово-статистической функции Грина (если это важно) имеющий определенный вид, $e(k)=-w\cos{kd}$.
Как я понимаю, что в случае натурального $k$ была бы справедлива формула Эйлера-Маклорена или Сонина, в случае же вещественного $k$ и суммирования по всем $k$ из области $a<k\leqslant b$ переход к интегралу естественен? То есть, если k вещественен, сумму можно записать как $\lim\limits_{\max\Delta k_{i}\to 0}\frac{1}{\pi}\sum\limits_{i}^{n}\operatorname{Im}(F(e(k_{i}),z))\Delta k_{i}$, что и есть определенный интеграл с пределами $a, b$?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи (и, по-видимому, приличная часть постановки задачи).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.