Вероятность прошествия времени по резултату 2-х событий

[an2ancan]

Здравствуйте, помогите разобраться

Вася поставил учиться две нейронные сети, каждую на своем GPU, и отправился спать. Времена обучения сетей независимы и равномерно распределены на отрезке [1;3] (часов). Через время t сервер упал и оказалось, что лишь одна сеть успела доучиться. С какой вероятностью t \leqslant \frac{3}{2}? Считайте, что время падения сервера тоже равномерно распределено на отрезке [1;3].

И так, плотность распределения двух событий равны:

f_1 = f_2 = \left\{\!\begin{aligned} & 0, \quad t<1 \\ & \frac{1}{2}, \quad t \in [1;3] \\ & 0, \quad t>3 \end{aligned}\right.

И так, вроятность, того, что t \leqslant \frac{3}{2} равна
P(t \leqslant \frac{3}{2}) = P(t \leqslant \frac{3}{2}|N_1) P(t \leqslant \frac{3}{2}|\overline{N_2} ),

,где
N_1 - событие обучения первой НС

\overline {N_2} - событие необучения второй НС

P(t \leqslant \frac{3}{2}|N_1) = \frac{P(t_f \leqslant \frac{3}{2}) P(N_1|t \leqslant \frac{3}{2})}{P(N_1)}

P(t_f \leqslant \frac{3}{2}) = \frac{1}{4}, т.к. по условию время падения сервера тоже равномерно распределено на отрезке [1;3].

P(N_1|t \leqslant \frac{3}{2}) = F_1(\frac{3}{2}) = \frac{1}{4}

P(N_1) - вот тут я не знаю. Вероятность, что НС обучится. Либо да, либо нет? \frac{1}{2}?

Соответственно и со вторым множителем непонятно:
P(t \leqslant \frac{3}{2}|\overline{N_2}) = \frac{P(t \leqslant \frac{3}{2}) P(\overline{N_2}|t \leqslant \frac{3}{2})}{P(\overline{N_2})}

P(\overline{N_2}|t \leqslant \frac{3}{2}) = 1 - F_2(\frac{3}{2}) =\frac{3}{4}

и опять не пойму, что делать с P(\overline{N_2})

[gris]

Я бы геометрически это всё посчитал в кубе. Из-за равномерности и симметрии там не сложно должно быть

[an2ancan]

Возможно я все усложняю, и вероятность просто равна:
$P = F_1(\frac{3}{2})\cdot(1-F_2(\frac{3}{2})) = \frac{3}{16}$ ?

[gris]

Может быть кто-то подскажет строго и как положено. У меня получилоcь $5/32$. Но, боюсь, что ошибся в арифметике
А вначале я подумал, что временной интервал $(0,3)$. Тогда бы было просто — вероятность равна половинке из-за симметрии. Но тут придётся считать.

[alcoholist]

gris в сообщении #1295578 писал(а):

У меня получилоcь $5/32$

у меня тоже... Я вообще представлял себе случайный процесс $X_t$ с биномиальным распределением $B\left(2,\frac{t-1}{2}\right)$.
Вроде как

$$ P\left(\left.t\le\frac{3}{2}\right|X_t=1\right)=\frac{5}{32}. $$

[gris]

А я представлял, что из куба $2\times 2 \times 2$ вынимают две одинаковые пирамидки, соответствующие событиям "оба успели" и "оба не успели", отрезают снизу одну четвёртую часть и смотрят, какую долю она занимает в той, оставшейся фигуре. В общем, по подобию всё устно, но в этом и источник ошибок:-)
Совсем запутался! Взял бумажку и посчитал. Всё правильно $5/32$. Ну их, эти дроби.

[alcoholist]

gris в сообщении #1295586 писал(а):

А пересчитал и получилось $5/16$. Ну вот что делать?

так и я мог ошибиться

[gris]

Нет, это я чего-то засомневался и начал пересчитывать. А потом аккуратно посчитал и вот.

[an2ancan]

gris, спасибо. Я понял про пирамидки и у меня вышло $\frac{5}{32}$

alcoholist, вы не могли бы поподробнее описать ваше решение. Проблема в том, что я не сталкивался с биноминальным распределением для непрервыных случаев.

[alcoholist]

an2ancan в сообщении #1295631 писал(а):

я не сталкивался с биноминальным распределением для непрервыных случаев

Это случайный процесс)) При каждом $t\in[1;3]$ распределение (дискретной случайной) величины $X_t$ биномиально

[an2ancan]

alcoholist, вы уже не в первый раз помогаете мне, за что я вам очень благодарен. Быть может вы обратили внимание, что я не обладаю навыками, которыми может похвастаться птица Говорун. Поэтому, пожалуйста, не могли бы вы чуть более подробно описать решение. Здорово было бы, если бы вы смогли описать его так, чтобы мимо проходящая бабка могла понять.