Непрерывно дифференцируемые и непрерывные по Гельдеру

[super_tupoi]

Доброго времени суток! Подскажите пожалуйста, есть ли зависимость между непрерывными по Гельдеру и непрерывно дифференцируемыми функциями (например из одного следует другое, типа "если $f(x)$ непрерывно дифференцируема, то она ограничена по Гельдеру")?

В частности интересует $f(x) $\in$ {C}^{0}(\Omega)$ и $f(x) $\in$ {C}^{\alpha}(\Omega)$.

Было бы замечательно получить ссылки на источники, где есть доказательства (или утверждения). Смотрел в "Гилбарг, Трудингер. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка" и найти не удалось...

[Red_Herring]

$C^0\supset H^\alpha \supset C^1$ для $0<\alpha\le 1$; следует различать $C^1$ пространство непрерывно дифференцируемых и $H^1$ пространство непрерывных по Гельдеру с показателем $1$ функций. Разумеется надо сделать оговорки про равномерность.

Вообще многие теоремы вложения и продолжения и всякие свойства УЧП верны для схем $W^l_p$ с $1\le p<\infty$ и для $C^\alpha:=H^\alpha$ с нецелыми $\alpha$, но ломаются при $p=\infty$ и целых $\alpha$

[super_tupoi]

Red_Herring, спасибо! А вы можете подсказать литературу, где про эти вложения можно почитать?
P.S. После вашего комментария решил посмотреть в книге "Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике", но так же ничего не нашел (точнее нашел теоремы вложения, но ничего про ${H}^{\alpha}$).

[Red_Herring]

Для нецелых $\alpha$ у нас есть только одно пространство. А вот скажем при $\alpha=1$ у нас есть $C^1$ и Гельдерово (обычно обозначаемое $C^{1,0)}$: $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$. Ну ясно, что на компакте из $\nabla f \in C$ следует последнее неравенство, но не наоборот.

Можно посмотреть книги Лионса (старшего)