Идеал локального кольца

[npetric]

Кострикин, том 3, гл.4, п.1, задание 2
Доказать, что если $K$ - локальное кольцо с максимальным идеалом $J$, то любой элемент из $K \backslash J$ обратим

Следующее за ним задание 3 заключается в обосновании вещей, связанных с локализацией произвольного кольца с единицей.

Задание 2 я решил, но только для коммутативных колец, хотя про коммутативность ничего сказано не было.
Также на википедии разбирается только локализация коммутативного кольца с единицей. В английской же версии страницы вообще сказано "However, in the non-commutative case, having a unique maximal two-sided ideal is not equivalent to being local.".
Вопрос: не нужно ли считать, что в этих двух заданиях кольца коммутативные?

-- 02.03.2018, 18:31 --

И еще: где-нибудь сейчас можно купить/скачать более свежую чем 2004 редакцию трёхтомника (электронную версию)?

[npetric]

Уточнение: под идеалом $J$ в Кострикине понимается двусторонний идеал: $\forall k \in K: kJ \subseteq J, Jk \subseteq J$

Так что, судя по английской википедии, в задаче есть неточность, связанная не с теми определениями идеала, но она разрешима

[vpb]

Там во всех трех упражнениях имеются в виду коммутативные кольца. А некоммутативные локальные кольца в учебной литературе как-то редко рассматриваются, я даже не знаю, собственно, что это значит. Более нового издания Кострикина скорее всего нет, т.к. он, так сказать, покинул нас в 2000 г.

[g______d]

Нашел на Mathoverflow достаточно подробный текст (локализация описана в разделе II):

http://math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf

[npetric]

Спасибо!
По поводу учебника - мало ли, у него еще сын алгебраист есть. Купил вчера издание 2012 года - оно ничем не отличается от электронной версии 2004