Что тaкое бесконечное множество?

[mihaild]

Есть два определения:
1. Множество конечно, если оно равномощно некоторому конечному ординалу (т.е. множеству вида $\{x | x\in \mathbb{N}, x < n\}$).
2. Множество конечно (по Дедекинду), если оно не равномощно никакому собственному подмножеству.
Естественным образом определяются бесконечные и бесконечные по Дедекинду множества. Очевидно, что всякое конечное множество конечно по Дедекинду, и, соответственно, всякое бесконечное по Дедекинду множество бесконечно.
Лемму о вложенных отрезках тогда достаточно доказывать в виде "из любого бесконечного семейства (и тем более бесконечного по Дедекинду) выделяется конечное (и тем более конечное по Дедекинду)".

Если вы принимаете аксиому выбора, то бесконечность и бесконечность по Дедекинду эквивалентны.