два определения ассоциированных элементов кольца

[beroal]

Пусть $R$ есть коммутативное кольцо с $1$.

Определение 0. $x$ и $y$ ассоциированы $\iff$ существует обратимый $u$ такой, что $y=u\cdot x$.

Определение 1. $x$ и $y$ ассоциированы $\iff x\mid y \land y\mid x$.

Эти определения неэквиваленты хоть в каком-то $R$? Я знаю, что определение 0 влечёт определение 1 и что определения эквивалентны в области целостности. В учебниках эти определения даются только для областей целостности. Я пробовал найти пример в виде $\mathbb{Z}_n$ безуспешно. Если определения эквиваленты для семейства колец с $1$, они эквивалентны для произведения этого семейства.

Если $R=\mathbb{Z}_{p^n}$ для некоторого простого $p\in\mathbb{Z}$ и $n\in\mathbb{N}_{\not =0}$, определения эквиваленты. Доказательство. Допустим, $x\not = 0$, $x = c'\cdot y$ и $y = c\cdot x$ в $R$. Тогда $x = c'\cdot c\cdot x$ в $R$, $0 = (c'\cdot c - 1)\cdot x$ в $R$, $c'\cdot c - 1$ несократимый в $R$, $c'\cdot c - 1$ необратимый в $R$, $p\mid c'\cdot c - 1$ в $\mathbb{Z}$, $p\nmid c'\cdot c$ в $\mathbb{Z}$, $c'\cdot c$ обратимый в $R$, $c$ обратимый в $R$.

Больше идей насчёт $R$ нет.

[apriv]

beroal в сообщении #1294674 писал(а):

Эти определения неэквиваленты хоть в каком-то $R$?

Сколько угодно.

Цитата:

Я пробовал найти пример в виде $\mathbb{Z}_n$ безуспешно.

Плохо искали, значит.

Цитата:

Если определения эквиваленты для семейства колец с $1$, они эквивалентны для произведения этого семейства.

А это еще почему?

Цитата:

Если $R=\mathbb{Z}_{p^n}$ для некоторого простого $p\in\mathbb{Z}$ и $n\in\mathbb{N}_{\not =0}$, определения эквиваленты.

Ну да, Ваше рассуждение показывает, что для локальных колец они равносильны.

[beroal]

Если кому-то будет интересен ответ, на Mathematics Stack Exchange есть близкий вопрос. В ответе ссылки на полезные статьи. В кольце главных идеалов и в артиновом кольце определения эквиваленты. Так как $\mathbb{Z}_n$ есть кольцо главных идеалов, оно не может быть примером. Ниже примеры колец, где определения не эквиваленты, из статьи.

Кольцо непрерывных функций на $[0, 3]$. Пусть $a$ есть функция, график которой есть ломаная, проходящая через точки $((0, 1), (1, 0), (2, 0), (3, 1))$. Аналогично, график $b$ есть $((0, 1), (1, 0), (2, 0), (3, -1))$, график $c$ есть $((0, 1), (1, 1), (2, -1), (3, -1))$. $a=c\cdot b$ и $b = c\cdot a$, то есть $a$ и $b$ ассоциированы по определению 0. Они не ассоциированы по определению 1.

Подкольцо произведения колец $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}_5[X]$, подстилающее множество которого есть $\{(x, p) \mid p(0)\equiv x\mod 5 \}$. Пусть $a=(0, X)$, $b=(0, 2\cdot X)$. $a = (3, 3)\cdot b$ и $b = (2, 2)\cdot a$, то есть $a$ и $b$ ассоциированы по определению 0. Они не ассоциированы по определению 1.