Числа в ряд и делимость на 13

[Ktina]

Можно ли натуральные числа от 1 до 2018 расположить в ряд так, чтобы сумма любых пяти из них, стоящих через два (например, первого, 4-го, 7-го, 10-го и 13-го), делилась на 13?

[waxtep]

(Оффтоп)

Нельзя. Иначе, $a_1=a_{16}=a_{31}=\ldots=a_{2011}\bmod13$, и аналогичные цепочки равенств по модулю $13$ для $a_2,\ldots,a_{15}$. Но, $15>13$, а, значит, хотя бы для двух значений остатков должно быть $2\cdot134$ чисел их дающих. А столько их нет, в наличии максимум $156$.

[urod]

Как нетрудно доказать, нельзя.