2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по линейной алгебре
Сообщение23.02.2018, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6119
Вчера из обсуждения алгоритма Штрассена вылезло неожиданное на первый взгляд соотношение. На олимпиадную задачу, наверное, не тянет, ибо может быть доказана тупой алгеброй при достаточном усердии, но найти красивое доказательство может быть интересно.

Доказать, что для бесследовых матриц размера $2 \times 2$, выполняется соотношение
$$\operatorname{tr}(ABC) = k \det \begin{bmatrix} a_{11} & b_{11} & c_{11} \\ a_{12} & b_{12} & c_{12} \\ a_{21} & b_{21} & c_{21} \end{bmatrix},$$
где $k$ - некоторый ненулевой коэффициент.

(Доказательство)

По теореме Гамильтона-Кэли, для бесследовой $2 \times 2$ матрицы $A$ выполняется $A^2 + \det(A) \operatorname{id} = 0$, откуда $\operatorname{tr}(A^2B) = -\det(A) \operatorname{tr}(B) = 0$. Так как $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$, то же справедливо для $\operatorname{tr}(ABA)$ и $\operatorname{tr}(BA^2)$. Отсюда, $\operatorname{tr}(ABC)$ есть знакопеременная трилинейная форма на трехмерном пространстве бесследовых матриц, то есть пропорциональна определителю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group