Дробно-линейные отображения

[Nickspa]

а) Найти общий вид ДЛО $T$, имеющего одну неподвижную точку (конечную или бесконечную), выписать общий вид $T^n$
б) Найти общий вид ДЛО $T$, имеющего две неподвижные точки (две конечные или одну бесконечную и одну бесконечную), выписать общий вид $T^n$

Под а) получается для $T(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ 1 точка при $(a-d)^2+4bc=0$, но $c$ и $b$ не равны нулю одновременно. Но как записать общий вид ДЛО, и его n-ую степень?

Под б) соответственно выражение $(a-d)^2+4bc$ не равно нулю. Случай тождественного преобразования - единственный, где точек больше двух. Но те же вопросы про общий вид.

[Sonic86]

в а) наверное лучше решить задачу для неподвижной $\infty$ - тогда $T^n$ легко выписывается, а потом случай конечной неподвижной точки свести к бесконечной через специально-подобранное ДЛО.

в б) наверное лучше брать неподвижными $0$ и $\infty$.

Nickspa в сообщении #1293829 писал(а):

одну бесконечную и одну бесконечную

[Nickspa]

в а) для неподвижной $\infty$ $T(z)=z+\frac{b}{d}$, а $T^n(z)=z+n\frac{b}{d}$, т.е. это сдвиг. Но как случай конечной точки свести к этому?

[thething]

Nickspa в сообщении #1293841 писал(а):

в а) для неподвижной $\infty$ $T(z)=z+\frac{b}{d}$

Лучше написать $T(z)=z+A$, $A\in\mathbb{C}$

В случае конечной неподвижной точки $a$ попробуйте такое отображение $T(z)=a+\frac{z-a}{1+A(z-a)}$, или, в эквивалентной форме (откуда и получился этот вид и до которой легко догадаться, учитывая, что $\infty$ -- не должна быть неподвижной): $\frac{1}{T(z)-a}=\frac{1}{z-a}+A$

В случае двух конечных неподвижных точек $a$ и $b$ можно найти отображение из уравнения $\frac{T(z)-a}{T(z)-b}=A\frac{z-a}{z-b}$, где $A\in\mathbb{C}$.

В случае бесконечных точек сами догадаетесь и также сами найдите $T^n$ (это легко увидеть за пару шагов)))