4-импульс для частицы, падающей в черную дыру

[monky99]

Я хочу посчитать 4-импульс для массивной частицы и для фотона, падающих в Шварцшильдовскую черную дыру из бесконечности вдоль радиуса, в координатах Шварцшильда.
Система единиц измерений в которой $c=1$.
Энергия покоя частицы равна на бесконечности $m$ и равна энергии фотона.
Метрика для данного случая $ds^2=-(1-2M/r)dt^2+\frac{dr^2}{(1-2M/r)}+r^2(\sin^2\theta d\varphi ^2+d\theta^2)$.
Компонент 4-импульса и частицы и фотона на бесконечности $P_t=-m$. Величина этой компоненты для свободно падающих частиц в координатах Шварцшильда не изменяется.
Пусть частица в данный момент времени находится в точке с координатой $r=R$. Перехожу в локально лоренцеву систему координат. Преобразование координат: $T=t\sqrt{1-2M/R}$, для координаты $r$ такое, что $dr=dR\sqrt{1-2M/r}$.
Матрица преобразования координат
$\partial T/\partial t=\sqrt{1-2M/R}$ ; $\partial T/\partial r=0$
$\partial R/\partial t=0$ ; $\partial R/\partial r=1/\sqrt{1-2M/R}$
И для обратного преобразования
$\partial t/\partial T=1/\sqrt{1-2M/R}$ ; $\partial t/\partial R=0$
$\partial r/\partial T=0$ ; $\partial r/\partial R=\sqrt{1-2M/R}$

Тогда в этой системе координат $P_T=P_t\partial t/\partial T+P_r\partial r/\partial T=-m/\sqrt{1-2M/R}$.
С другой стороны $P_T=-m/\sqrt{1-v^2}$, где $v$ это скорость частицы в этой системе координат.
Отсюда $v=\sqrt{2M/R}$. Тогда $P_R=-m\sqrt{2M/R}/\sqrt{1-2M/R}$
Переходим обратно в координаты Шварцшильда.
$P_r=P_T\partial T/\partial r+P_R\partial R/\partial r=-m\sqrt{2M/R}/(1-2M/R)$.

Для фотона в локально лоренцевой системе координат $P_T$ и $P_R$ равны по величине.
Поэтому $P_R=-m/\sqrt{1-2M/R}$
Переходим в координаты Шварцшильда и получаем
$P_r=P_T\partial T/\partial r+P_R\partial R/\partial r=-m/(1-2M/R)$.

Поскольку данные рассуждения верны и для других точек радиуса, то можем заменить $R$ на $r$.

Итак, для массивной частицы, падающей вдоль радиуса:
$P_t=-m$;$P_r=-m\sqrt{2M/r}/(1-2M/r)$ остальные компоненты 4-импульса равны $0$.
Для фотона, падающего вдоль радиуса:
$P_t=-m$;$P_r=-m/(1-2M/r)$ остальные компоненты 4-импульса равны $0$.

Я ничего не напутал?

[piksel]

Здесь вы напутали. Энергии фотона и материальной частицы $P_t$ меняются и положительны по величине и импульсы $P_r$ другие.

-- Вт фев 27, 2018 16:36:18 --

Вам надо поменять в формулах преобразования векторов t и T, r и R местами в частных производных.