2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по теории последовательностей Фарея
Сообщение18.02.2018, 20:23 
Аватара пользователя


04/06/14
623
Помогите пожалуйста найти ошибку в случае её присутствия.
В дальнейшем будем обращаться к фактам из статьи Стечкина "Ряды Фарея".

Пусть $H_n$ - ряд Фарея порядка n.

$h_\nu \in H_n$,

$h_\nu (n) = h_\nu$,

$\delta_\nu = h_\nu - \frac{\nu}{\Phi}$,

$\nu = 1, ..., \Phi$,

$\Phi=\Phi (n) = \sum\limits_{1}^{n}\varphi (k)$ - сумматорная функция Эйлера, $\varphi (k)$ - функция Эйлера.

$N=\Phi+1$,

$g(x)=x-[x]-\frac{1}{2}=\left\lbrace x \right\rbrace -\frac{1}{2}$, $\left\lbrace x \right\rbrace$ - дробная часть числа $x$, $\left\lbrace x \right\rbrace\leqslant1$.

$S_2 (n) = (\sum\limits_{\nu=1}^{N} |\delta_\nu|^2)^{1/2} $.

Нам потребуется известная формулировка гипотезы Римана в следующем виде (указывается в статье Стечкина "Ряды Фарея").

$RH \Longleftrightarrow S_2(n) = O_\varepsilon (n^{-1/2} + \varepsilon)$ ($\forall \varepsilon>0$).

Обращаясь к статье Стечкина, имеем
$\delta_m=h_m-\frac{m}{\Phi}=h_m-\frac{m}{N-1}={(N-1)}^{-1} (\sum\limits_{d=1}^{n} g(dh_\nu)M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})$.

Возводя в квадрат и суммируя по $\nu$ от 1 до N, получим

$\sum\limits_{\nu=1}^{N} {\delta_\nu}^{2}={(N-1)}^{-2} \sum\limits_{\nu=1}^{N} (\sum\limits_{d=1}^{n} g(dh_\nu)M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})^{2}\leqslant$,

Имеем $\sum\limits_{d=1}^{n} M(\frac{n}{d})=1$, $g(dh_\nu)\leqslant1$,

$\leqslant {(N-1)}^{-2} \sum\limits_{\nu=1}^{N} (\sum\limits_{d=1}^{n} M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})^{2}={(N-1)}^{-2} \sum\limits_{\nu=1}^{N} (1+\frac{1}{2})^{2}=\frac{9}{4}N{(N-1)}^{-2}$. (*)

Для $N$ известна такая оценка: $N=\frac{3}{{\pi}^{2}}{n}^{2}+O(n \ln n)$.

Тогда с учётом этой оценки и (*) имеем

$S_2(n) = O_\varepsilon (n^{-1/2} + \varepsilon)$ ($\forall \varepsilon>0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории последовательностей Фарея
Сообщение22.02.2018, 20:41 
Аватара пользователя


04/06/14
623
$S_2(n)\leqslant{(\frac{9}{4}N{(N-1)}^{-2})}^{1/2}=\frac{3}{2}{N}^{1/2}{(N-1)}^{-1}=\frac{3}{2}{({N}^{1/2}-{N}^{-1/2})}^{-1}$.
$|\frac{S_2(n)}{{n}^{-1/2+\varepsilon}}|=|S_2(n){{n}^{1/2-\varepsilon}}|\leqslant|\frac{3}{2}{({N}^{1/2}-{N}^{-1/2})}^{-1}{n}^{1/2-\varepsilon}|=\frac{3}{2}|\frac{{n}^{1/2-\varepsilon}}{{N}^{1/2}-{N}^{-1/2}}|$.

Ясно, что при $n\to \infty$ $N$ растёт быстрее, чем $n$, а

$\frac{3}{2}|\frac{{n}^{1/2-\varepsilon}}{{N}^{1/2}-{N}^{-1/2}}|$ ограничена константой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории последовательностей Фарея
Сообщение22.02.2018, 22:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

я отвечу, хотя я зарекся
maximk в сообщении #1293138 писал(а):
$S_2 (n) = (\sum\limits_{\nu=1}^{N} |\delta_\nu|^2)^{1/2} $.
слева $n$ маленькое, справа - $N$ большое. Но это ладно. А вот это:
maximk в сообщении #1293138 писал(а):
$\delta_m=h_m-\frac{m}{\Phi}=h_m-\frac{m}{N-1}={(N-1)}^{-1} (\sum\limits_{d=1}^{n} g(dh_\nu)M(\frac{n}{d})+\frac{1}{2})$.
в правой части стоит неизвестное никому $g$ и несвязанный индекс $\nu$. А $M$ - это конечно же функция Мертенса?
Статью не читал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории последовательностей Фарея
Сообщение23.02.2018, 09:30 
Аватара пользователя


04/06/14
623
Sonic86, да, $M(n)$ - функция Мертенса.
На счет того, что слева $n$, а справа $N$ - они связаны, $N=1+\Phi(n)$, что указано в обозначениях перед вычислениями в моём первом сообщении этой темы, как и указано, что за никому неизвестная функция $g$ (это есть и в статье, там есть и формулы, на основе которых я провожу оценки, на странице 3 документа).
На счет $\nu$, да, опечатка, там должен быть индекс $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории последовательностей Фарея
Сообщение23.02.2018, 15:38 
Аватара пользователя


04/06/14
623
Ключевые факты, что здесь используются, находятся на 5 странице документа статьи Стечкина.
На 3 странице находится сама формулировка RH в этих терминах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории последовательностей Фарея
Сообщение23.02.2018, 17:13 


29/12/15
18
maximk в сообщении #1293138 писал(а):
Имеем $\sum\limits_{d=1}^{n} M(\frac{n}{d})=1$, $g(dh_\nu)\leqslant1$,

Функция $M$ принимает же не только положительные значения, поэтому умножение на $g(dh_{\nu})$ может увеличить сумму, вроде в этом проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории последовательностей Фарея
Сообщение24.02.2018, 09:52 
Аватара пользователя


04/06/14
623
Ribin, да, возможно вы и правы.

И еще идейка появилась. Наверняка здесь тоже не всё так гладко.
Что если оценить $\sum\limit_{d=1}^{n} g(dh_m)M({\frac{n}{d}})$ снизу через тот факт, что $M(x)\geqslant -x$, тогда $\sum\limit_{d=1}^{n} g(dh_m)M(\frac{n}{d})\geqslant -n\sum\limit_{d=1}^{n} \frac{1}{d}$, при этом $\sum\limit_{d=1}^{n} \frac{1}{d}=\ln n + \gamma + O(\frac{1}{n})$, где $\gamma$ - константа Эйлера. Возводя в квадрат $\delta_m$, суммируя по m от 1 до N, получим опровержение RH.
Возможно здесь есть грубый фрагмент невнимательности, а может он кроется в вопросе о правомерности избавляться от функции $g$, уменьшая произведение $gM$. Здесь ведь тонкость в том, как могут вести себя значения функции Мёбиуса при умножении на значения функции $g$.
Если в данном случае не удаётся использовать тот факт, что $M(x)\geqslant -x$, возможно достаточно будет использовать более слабую оценку, где вместо $-x$ будет стоять $-x^k$, где $k>1$?

__________________
Похоже, что для реализации подобной идеи $M(x)\geqslant -x$ будет мало.

Чушь написал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group