Цилиндр на наклонной поверхности неподвижен. ФЛФ з-ча 19-10

[Uchitel'_istorii]

Условие:

PNG писал(а):

19-10. An adaptation of an inking arrangement for a printing press is as shown in the figure. $K$ is a firmly supported, but idling, inking roller of negligible moment of inertia; $P$ is a driven press roll firmly supported and $T$ is a transport roll freely floating between $K$ and $P$. $T$ is a solid cylinder of radius $r$ and mass $M$; it always rolls without slipping on both K and P, and the geometry is such that the line of centers $TP$ is $\Theta$ above the horizontal. What is the maximum angular acceleration $A$ that can be given to $P$ without $T$ losing contact with $K$?

Русское условие: PNG (В переписывании не вижу смысла. Если из-за этого пост попадет в карантин, то удалю этот абзац.)

Решение МИФИ:

PNG писал(а):

19.10. Вес W валика разложим на две составляющие: силу нормального давления его на вал $P$, равную $F_1 = Mg \sin \theta$, и перпендикулярную к ней $F_2 = Mg \cos \theta$ . Контакт между передающим валиком $T$ и барабаном$ K$ не будет теряться в том случае, если «сила тяги» $F$,приложенная со стороны печатного вала $P$ к валику $T$ (как раз и обусловливающая вращение валика $T$), меньше или равна $F_2$ т. е.
$F \leq Mg \cos \theta$
(знак равенства соответствует нулевому давлению $T$ на $K$).
Уравнение вращательного движения для валика $T$, когда он не давит на барабан $K$, имеет вид $IA_1 = Fr$, или $(Mr^2/2)A_1 = Mgr \cos \theta$ (здесь через $A_1 = d\omega/dt$ обозначено угловое ускорение валика $T$), так как
$I = \tfrac{1}{2}Mr^2$, откуда $A_1 = \tfrac{2g}{r}\cos\theta$.
Линейные ускорения точек обода $T$ и $P$ одинаковы, так что $A_1r =AR$, откуда ($A$ — угловое ускорение вала $P$)
$A=A_1\tfrac{r}{R} = \tfrac{2g}{R}\cos\theta$
где$R $— радиус вала $P$.

Мое решение.
Рассмотрим неподвижный станок. При быстром удалении вала $K$ вал $T$ под действием силы тяжести начинает скатываться. При этом угловое ускорение $A_2$ вала $T$ относительно точки контакта $P$ и $T$ определяется из уравнения:
$IA_2 = (Mg\cos\Theta)r$
$I= I_c + Mr^2 = \tfrac{Mr^2}{2}+ Mr^2$
$ A_2= \tfrac{2g\cos\Theta}{3r}$
Угловое ускорение вала $T$ в его системе отсчета будет таким же: $A_1 = A_2$.
Т.о. максимально достижимое посредством силы тяжести линейное ускорение в точке контакта составит $rA_1= \tfrac{2g\cos\Theta}{3}$. При большем ускорении вал $T$ должен двигаться в направлении вращения вала $P$.

Вопрос1: Почему овтеты не совпали?
Вопрос 2: Как доказать последний тезис строго (т.е. опровергнуть возможность того, что вал $T$ не будет никуда увлекаться при любом ускорении вала $P$. Можно здесь рассмотреть подзадачу -- вал лежит на горизонтальной скатерти, которая вынимается с ускорением $a$. У меня получилось, вал должен двигаться с ускорением $a/3$. Если надо, распишу вывод) ?

[wrest]

Uchitel'_istorii в сообщении #1293082 писал(а):

Можно здесь рассмотреть подзадачу -- вал лежит на горизонтальной скатерти, которая вынимается с ускорением $a$. У меня получилось, вал должен двигаться с ускорением $a/3$. Если надо, распишу вывод) ?

А не $a/2$ ?

[Uchitel'_istorii]

Решение подзадачи со скатертью. Перейдем в систему скатерти. Тогда к центру масс вала будет приложена псевдосила $-Ma$. Эта сила создает момент относительно точки контакта $|\tau| = Mar$. Угловое ускорение вала $\tfrac{\tau}{I} = \tfrac{Mar}{0,5Mr^2 + Mr^2} = \tfrac{2a}{3r}$. Линейное ускорение центра масс $\tfrac{2a}{3r} r = \tfrac{2a}{3}$. Переход обратно в инерциальную систему отсчета : $a_\text{ИСО} = - \tfrac{2a}{3} + a = a/3$.

Единственное, к чему могут быть вопросы, -- это формула момента инерции. До конца не ясно, вокруг какой точки будет происходить вращение. Я считаю, что вращение происходит вокруг точки контакта, по крайней мере на протяжении малого промежутка вермени.

[Uchitel'_istorii]

Странно. Если применить метод со скатертью к задаче 19-10, то ответ совпадает с ответом МИФИ.
Пусть обод вала $P$ движется с ускорением $a$. Перейдем в невращающуюся систему, связанную с точкой обода вала $P$ в месте контакта с валом $T$.
Модуль ускорения оси вала $T$ равен $g\cos\Theta + a$. Угловое ускорение оси вала $T$ равно $\tfrac{\tau}{I} = \tfrac{(g\cos\Theta + a)Mr}{1,5Mr^2} = \tfrac{2(g\cos\Theta + a)}{3r}$. Линейное ускорение оси вала $T$ равно $-\tfrac{2(g\cos\Theta + a)}{3}$. Переход обратно в систему станка: $-\tfrac{2(g\cos\Theta + a)}{3} + a = -\tfrac{2g\cos\Theta}{3} + \tfrac{a}{3}$. Чтобы ось вала $T$ была неподвижной , надо, чтобы $a = 2g\cos\Theta$.

[pogulyat_vyshel]

Uchitel'_istorii в сообщении #1293082 писал(а):

Вопрос1: Почему овтеты не совпали?

Потому, что уравнение, которое вы написали не является теоремой об изменении кинетического момента, а является не-пойми-чем. Есть много версий теоремы об изменении кинетического момента (не все они необходимы), освойте минимальный необходимый набор этих теорем и не пишите отсебятину.

[Uchitel'_istorii]

pogulyat_vyshel в сообщении #1293142 писал(а):

освойте минимальный необходимый набор этих теорем

Лекция 18 усвоена. Использованы уравнения 18.19, 18.21, 18.22. Распыляться на других авторов нежелательно.

И ошибка была не в уравнении , а в упущении мной следующего:
1) при воздействии на сплошной цилиндр силы $F$ он катится без скольжения с ускорением $\tfrac{2F}{3M}$;
2) если поверхность , на которой лежит цилиндр, ускоряется с ускорением $a$ , цилиндр ускоряется с ускорением $a/3$.

[pogulyat_vyshel]

Uchitel'_istorii в сообщении #1293174 писал(а):

И ошибка была не в уравнении

забавный апломб для человека, который не способен разобраться в банальных задачах по готовым решениям
Ошибка именно в уравнении:

Uchitel'_istorii в сообщении #1293082 писал(а):

нтакта $P$ и $T$ определяется из уравнения:
$IA_2 = (Mg\cos\Theta)r$
$I= I_c + Mr^2 = \tfrac{Mr^2}{2}+ Mr^2$

должно быть: $I_cA_2 = (Mg\cos\Theta)r$, если правильно пользоваться теоремами динамики

Uchitel'_istorii в сообщении #1293082 писал(а):

угловое ускорение $A_2$ вала $T$ относительно точки контакта $P$

нет такого понятия: "угловое ускорение твердого тела относительно точки"

Uchitel'_istorii в сообщении #1293082 писал(а):

Угловое ускорение вала $T$ в его системе отсчета будет таким же: $A_1 = A_2$.
Т.о. максимально достижимое посредством силы тяжести линейное ускорение в точке контакта составит $rA_1= \tfrac{2g\cos\Theta}{3}$. При большем ускорении вал $T$ должен двигаться в направлении вращения вала $P$.

а это уже просто набор слов

(Оффтоп)

Uchitel'_istorii в сообщении #1293174 писал(а):

Распыляться на других авторов нежелательно.

Ну понятно. Любительщина. То, что вы затеяли совершенно бесперспективно. Нельзя освоить математику или физику с нуля самостоятельно.

[rascas]

Uchitel'_istorii в сообщении #1293082 писал(а):

Линейные ускорения точек обода $T$ и $P$ одинаковы, так что $A_1r =AR$, откуда ($A$ — угловое ускорение вала $P$)

МИФИ мог сделать такой вывод, что $A_1r =AR$, только неявно допустив, что ускорения центров валов нулевое.

Uchitel'_istorii в сообщении #1293082 писал(а):

При быстром удалении вала $K$ вал $T$ под действием силы тяжести начинает скатываться.

У вас здесь ускорение центра вала $T$ не нулевое.
соответственно в вашем случае нельзя получать угловое ускорение $A$ по формуле МИФИ: $A=A_1\tfrac{r}{R}$

[Uchitel'_istorii]

pogulyat_vyshel в сообщении #1293182 писал(а):

должно быть: $I_cA_2 = (Mg\cos\Theta)r$, если правильно пользоваться теоремами динамики

Т.е. если к оси цилиндра приложена сила $F$ и он катится, то ускорение оси составит $2F/M$. Или , что эквивалентно, если к оси цилиндра приложена псевдосила $-Ma$ , то ускорение оси составит $-2a$.

Мной был проведен эксперимент с валом из механизма подачи принтера (это стальной цилиндр длиной 320 мм диам. 9 мм с напылением для улучшения сцепления с бумагой):
https://archive.org/download/1802190000 ... 000001.mp4
https://archive.org/download/1802190000 ... 000002.mp4
Эксперимент показал, что вал проходит расстояние , прим. в 2,5 раза меньшее , чем бумага, и уж точно не движется в сторону, противоположную движению бумаги. В эксперименте присутствует сила трения качения, поэтому при равномерном движении бумаги вал не остается на месте (относительно стола) , а увлекается бумагой.

[pogulyat_vyshel]

Uchitel'_istorii в сообщении #1293260 писал(а):

Т.е. если к оси цилиндра приложена сила $F$ и он катится, то ускорение оси составит $2F/M$

это другая задача, у вас в задаче 19.10 диск не катится, а крутится на месте

Uchitel'_istorii в сообщении #1293260 писал(а):

Мной был проведен эксперимент с валом из механизма

а эта третья задача, которая не имеет отношения ни к первой ни ко второй

[Uchitel'_istorii]

Задача А. На тело действует сила. Найти координату.
Задача Б. На тело действует сила инерции. Найти координату.
Очевидно же, что Задача Б является точнее сформулированной Задачей А. Математически решения идентичны.

Далее, в задаче 19-10 к верхнему валу приложена сила. Она вызывает ускорение оси вала. Ускорением нижнего вала нужно создать компенсирующее ускорение оси верхнего, чтобы суммарно было нулевое ускорение. "Не имеет отношения"?

[pogulyat_vyshel]

Да, да, конечно, дискутировать вы умеете. Только почему-то когда дело доходит до задач, вам приходится ваши домыслы подгонять под ответ. А когда ответа не будет что делать станете?

Задача.
По поверхности может катиться без проскальзывания тонкий обруч радиуса $r$, склеенный из двух половинок массами $m_1,m_2$. Сила тяжести отсутствует. Обруч не может отлететь от поверхности (например потому, что его гладкий потолок к ней прижимает)
И так, в начальный момент времени центру обруча придают скорость $v_0$. Найти ускорение центра обруча в начальный момент времени.

[wrest]

Uchitel'_istorii в сообщении #1293112 писал(а):

Чтобы ось вала $T$ была неподвижной , надо, чтобы $a = 2g\cos\Theta$.

Пусть угол $\Theta$ прямой. Тогда чтобы ведомый вал сдвинулся (ровно вверх в этом случае), ускорение поверхности ведущего вала должно быть $a=2g$, так ведь?
Но тогда выходит, что ускорение оси ведомого вала будет равно все-таки половине линейного ускорения поверхности, а не трети?

-- 20.02.2018, 11:28 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1293367 писал(а):

И так, в начальный момент времени центру обруча придают скорость $v_0$. Найти ускорение центра обруча в начальный момент времени.

То есть - обруч сперва разогнали без вращения и без трения до скорости $v_0$, а в момент времени $t=0$ обруч отпустили и включили трение.

[wrest]

wrest в сообщении #1293369 писал(а):

То есть - обруч сперва разогнали без вращения и без трения до скорости $v_0$, а в момент времени $t=0$ обруч отпустили и включили трение.

Тогда или без проскальзывания не выйдет или будет удар с неопределенным (бесконечным) ускорением.

pogulyat_vyshel
Кажись, вам надо уточнить условия.

[pogulyat_vyshel]

wrest в сообщении #1293390 писал(а):

Кажись, вам надо уточнить условия.

Не, не нужно. Задача поставлена, а то , что вы еще там что-то допридумывли к ней -- ваша проблема