Общие теоремы динамики (список-конспект)

[pogulyat_vyshel]

Взгляд с высоты птичьего полета, без подробностей


Система материальных точек
$Oxyz$ -- инерциальная система отсчета (она же неподвижная система наблюдателя); $m_1,\ldots,m_N$ -- система материальных точек массами $m_i$ с радиус-векторами $\boldsymbol r_i$; $m=\sum_{i`=1}^N m_i$ -- масса всей системы.

К каждой точке приложена внешняя сила $\boldsymbol F_i$; кроме того, в системе действуют внутренние силы: $\boldsymbol f_{ij}$ -- сила, с которой $i$-я точка действует на $j$-ю точку; $(\boldsymbol f_{ij}=-\boldsymbol f_{ji},\quad \boldsymbol f_{ii}:=0$).

Радиус-вектор центра масс:

$$\boldsymbol r_S=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^N m_i\boldsymbol r_i.$$

теорема о движении центра масс:

$$m\boldsymbol{\ddot r}_S=\boldsymbol F,\quad \boldsymbol F=\sum_{i=1}^N \boldsymbol F_i.$$

Кинетическим моментом системы относительно очки $O$ называется вектор $\boldsymbol K_O=\sum_{i=1}^Nm_i[\boldsymbol r_i,\boldsymbol{\dot r}_i].$ Теорема об изменении кинетического момента:

$$\boldsymbol{\dot K}_O=\boldsymbol M_O,$$

где $\boldsymbol M_O=\sum_{i=1}^N[\boldsymbol r_i,\boldsymbol F_i]$ -- сумма моментов внешних сил.


Кинетической энергией системы называется число $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i|\boldsymbol {\dot r}_i|^2.$
Теорема об изменении кинетической энергии:

$$\dot T=\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{\dot r}_i,\boldsymbol G_i),\qquad (*)$$

где $\boldsymbol G_i=\boldsymbol F_i+\sum_{j=1}^N\boldsymbol f_{ji}$ -- сумма всех сил, действующих на точку $m_i$.
Правая часть в формуле (*) это мощность сил $\boldsymbol G_i$.

Если силы зависят лишь от положений системы $\boldsymbol G_i=\boldsymbol G_i(\boldsymbol r_1,\ldots,\boldsymbol r_N)$, то теорема об изменении кинетической энергии может быть переписана в интегральной форме с криволинейным интегралом в правой части:

$$T(t_2)-T(t_1)=\int_L\sum_{i=1}^N(\boldsymbol G_i,d\boldsymbol r_i),$$

где справа стоит интеграл от дифференциальной формы по кривой

$$L=\{(\boldsymbol r_1(t),\ldots,\boldsymbol r_N(t))\in\mathbb{R}^{3N}\mid t\in[t_1,t_2]\},$$

а $\boldsymbol r_1(t),\ldots,\boldsymbol r_N(t)$ -- закон движения системы.

Если силы потенциальны:

$$\boldsymbol G_i=-\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol r_i},\quad V=V(\boldsymbol r_1,\ldots,\boldsymbol r_N)$$

то уравнения движения имеют интеграл энергии

$$T+V=h.$$

Потенциальность сил эквивалентна точности формы $\sum_{i=1}^N(\boldsymbol G_i,d\boldsymbol r_i)$.

Теоремы динамики в осях Кенига
Осями Кенига называется система координат $Sx'y'z'$, у которой начало совпадает с центром масс системы материальных точек, а оси параллельны осям неподвижной системы во все время движения.

Через $\boldsymbol \rho_i$ обозначим радиус-вектор точки $m_i$ в осях Кенига. Скорость точки $m_i$ относительно осей Кенига равна $\boldsymbol{\dot \rho}_i$

Кинетическим моментом системы в осях Кенига называется вектор $\boldsymbol K_*=\sum_{i=1}^Nm_i[\boldsymbol \rho_i,\boldsymbol {\dot \rho}_i]$.
Верна формула

$$\boldsymbol K_O=m[\boldsymbol r_S,\boldsymbol{\dot r}_S]+\boldsymbol K_*.$$

Теорема об изменении кинетического момента в осях Кенига:

$$\boldsymbol{\dot K}_*=\boldsymbol M_S,\quad \boldsymbol M_S=\sum_{i=1}^N[\boldsymbol \rho_i,\boldsymbol F_i].$$

Кинетической энергией в осях Кенига называется число

$$T_*=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i|\boldsymbol {\dot \rho}_i|^2.$$

Верна формула

$$T=\frac{m}{2}|\boldsymbol{\dot r}_S|^2+T_*.$$

Теорема об изменении кинетической энергии в осях Кенига:

$$\dot T_*=\sum_{i=1}^N(\boldsymbol{\dot \rho}_i,\boldsymbol G_i).$$

Твердое тело
Предположим, что указанная система материальных точек $m_1,\ldots, m_N$ образует твердое тело.

Кинетический момент твердого тела в осях Кенига вычисляется по формуле

$$\boldsymbol K_*=J_S\boldsymbol\omega,$$

где $J_S$ -- оператор инерции твердого тела относительно центра масс $S$.
Теорема об изменении кинетического момента твердого тела в осях Кенига:

$$J_S\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_S\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_S.$$

Кинетическая энергия твердого тела в осях Кенига:

$$T_*=\frac{1}{2}(\boldsymbol \omega,J_S\boldsymbol\omega).$$

Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела в осях Кенига:

$$\dot T_*=(\boldsymbol \omega,\boldsymbol M_S).$$

Теорема об изменении кинетической энергии твердого тела:

$$\dot T=(\boldsymbol{\dot r}_S,\boldsymbol F)+(\boldsymbol \omega,\boldsymbol M_S).$$

Твердое тело с неподвижной точкой
Предположим, что начало координат $O$ является точкой твердого тела.
Тогда кинетический момент твердого тела относительно точки $O$ вычисляется по формуле $\boldsymbol K_O=J_O\boldsymbol\omega$.

Теорема об изменении кинетического момента твердого тела относительно точки $O$:

$$J_O\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O.$$

Кинетическая энергия твердого тела вычисляется по формуле

$$T=\frac{1}{2}(\boldsymbol \omega,J_O\boldsymbol\omega).$$

теорема об изменении кинетичской энергии твердого тела с неподвижной точкой:

$$\dot T=(\boldsymbol \omega,\boldsymbol M_O).$$