доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.25 номер

[Ivan 09]

Здравствуйте.
необходимо доказать неравенство
$ n! \leqslant(\frac{n+1}{2})^{n}$,
где $n$-натуральное число.
Мои попытки решения и мой ход рассуждений
$ \frac{(n+1)!}{n+1} \leqslant \frac{(n+1)^n}{2^n}$

$ 2^n \leqslant \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}$
делаю замену
$n+1=t$, $n=t-1$
Получаем
$ 2^{t-1} \leqslant \frac{t^t}{t!}$
на этом моменте застрял, подскажите нет ли ошибок в рассуждении, и как доказать последнее неравенство. и не ошибся ли я в знаках

[thething]

У Вас ошибок нет, а я бы сделал так: $(n!)^2={n!n!}=\prod\limits_{k=1}^{n}k(n+1-k)$, затем, $k(n+1-k)=\frac{1}{4}(n+1)^2-\left(k-\frac{1}{2}(n+1)\right)^2$. Максимальное значение этой квадратичной функции переменной $k$ равно $\frac{1}{4}(n+1)^2$ и остается перемножить это само на себя $n$ раз

В вашем способе стоит рассмотреть последовательность $\frac{2^{t-1}t!}{t^t}$,показать, что она убывает, взяв отношение последующего члена к предыдущему, и что максимальное значение равно 1.

[Ivan 09]

thething
Спасибо вам, удалось разобраться.