Задачи на метрические пространства, классы Бэра

[ImKutushev]

Пусть $F_\sigma$ - счетное объединение замкнутых подмножеств из $\mathbb{R}$, а $G_\delta$ - счетное пересечение открытых подмножеств из $\mathbb{R}$, объединением этих двух множеств назовем 1-ым классом. $F_\sigma\delta$ - счетное пересечение множеств $F_\sigma$, а $G_\delta\sigma$ - счетное объединение множеств $G_\delta$, их объединение назовем вторым классом, и так далее, то есть мы получили счетное число подобных расширяющихся классов.

-----------------------------------

Теперь интересны следующие утверждения:

1. Различны ли $F_\sigma$ и $G_\delta$ ?
2. Существует ли множество не измеримое по Лебегу, не принадлежащее ни одному из классов? (Этот вопрос задан так специфично ввиду того, что любое множество измеримое принадлежащее какому-либо классу измеримо по Лебегу)
3. Верно ли, что $\forall$ A $\in$ $F_\sigma$ $\cap$ [0;1] $\exists$ f: [0;1] $\to$ $\mathbb{R}$ ограничена и множество точек разрыва $E_f$ = А.

Судя по всему ответы на все три вопроса положительные, но это к сожалению не помогает в их решении

-----------------------------------

[mihaild]

1 и 3 есть у Гелбаума, с формулировкой 2 кажется что-то не так.

[ImKutushev]

Действительно допустил ошибку, формулировка такова: существует ли множество А измеримое по Лебегу, но не принадлежащее ни одному из классов Бэра. Насчет пунктов 1 и 3 нашел нужный ответ

[DeBill]

1. К какому классу относится множество всех иррациональных?
2. Совпадает ли сигма-алгебра измеримых по Лебегу с борелевской ?