вопрос о диагонализации матрицы

[illuminates]

У меня возник странный вопрос о диагонализации матрицы.
Рассмотрим матрицу
$ M= \begin{pmatrix} a & m \,i \\ m\, i & p \\ \end{pmatrix} $
где $i$ - мнимая единица, все параметры действительны
Если матрицу представить в виде:
$M=S\ J\ S^{-1}$
То после расчёта получим
$S= \begin{pmatrix} \frac{i(-a+p+\sqrt{(a-p)^{2}-4 m^2})}{2m} & \frac{-i(a-p+\sqrt{(a-p)^{2}-4 m^2})}{2m}\\ \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$
и
$J= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(a+p-\sqrt{(a-p)^{2}-4 m^2}) & 0\\ \\ 0 & \frac{1}{2}(a+p+\sqrt{(a-p)^{2}-4 m^2}) \\ \end{pmatrix}$

Вопросы:
1) Если положить $m=0$ то если решение верное, матрица $S$ должна стать единичной?

2) Может ли комплексность изначальной матрицы как-то влиять (изменять) на процедуру диагонализации?

[alcoholist]

представьте $S$ в виде, выдерживающем переход $m\to 0$
и проверьте еще раз вычисления

[Slav-27]

illuminates в сообщении #1292133 писал(а):

Если положить $m=0$ то если решение верное, матрица $S$ должна стать единичной?

Не обязательно.

[illuminates]

alcoholist
Slav-27
Давайте немного поменяем исходную матрицу
$ M= \begin{pmatrix} a & 4 m \,i \\ 4 m\, i & p \\ \end{pmatrix} $

То что получается у меня выглядит так (в первый раз я забыл нормировать собственные вектора):
$S= \begin{pmatrix} \frac{-8im}{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}} & \frac{8im}{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}} \\ \sqrt{\frac{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}}{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}}} & \sqrt{\frac{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}}{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}}} \\ \end{pmatrix}$

В ответе действительно дается матрица у которой всё нормально с $m=0$:
$ S= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} & -\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} \\ -i\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} & -i\sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} \\ \end{pmatrix} $

Но я совершенно не понимаю как осуществить переход к ней. Я проверил вычислениями, что и моя матрица и матрица из ответа диагонализуют исходную матрицу. Очень странно.

[alcoholist]

Что-то незаметно, что матрица

illuminates в сообщении #1292413 писал(а):

$$ S= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} & -\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} \\ -i\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} & -i\sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}+1} \\ \end{pmatrix} $$

ведет себя как надо при $m\to 0$
В случае $a\ne p$ действительно в пределе получается единичная матрица. Именно, если $m\to 0$, то

$$ S= \frac{1}{a-p}\begin{pmatrix} a-p & 4im \\ -4im & a-p \\ \end{pmatrix}+o(m). $$

Случай $a=p$ легко разобрать отдельно.

[illuminates]

alcoholist

Прошу прощения, в ответе дана матрица

$$ S= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} & -\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} \\ -i\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} & -i\sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} \end{pmatrix} $$

Что приводит при $m=0$ к

$$ S= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} $$

Это не иденичная матрица, но все же хотя-бы диагональная.

[alcoholist]

illuminates в сообщении #1292447 писал(а):

Прошу прощения, в ответе дана матрица

$$ S= \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} & -\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} \\ -i\sqrt{\frac{-a^{2}+p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} & -i\sqrt{\frac{a^{2}-p^2}{\sqrt{(a^{2}-p^2)^2+64 m^{2}}}+1} \end{pmatrix} $$

Замените только $a^2-p^2$ на $a-p$.
При $m\to 0$ получится из вашей матрицы получится

alcoholist в сообщении #1292431 писал(а):

$$ \frac{\sqrt{2}}{a-p}\begin{pmatrix} a-p & 4m \\ -4im & -i(a-p) \\ \end{pmatrix}+o(m), $$

что подобно(c точностью до множителя) моей матрице. Просто умножьте второй столбец на мнимую единицу.

[illuminates]

alcoholist
Могли бы вы пожалуйста подсказать, из того что получается у меня
$S= \begin{pmatrix} \frac{-8im}{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}} & \frac{8im}{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}} \\ \sqrt{\frac{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}}{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}}} & \sqrt{\frac{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}}{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}}} \\ \end{pmatrix}$
можно ли поучить то что дано в ответе, киким-то перерастяжением собственного вектора? Для этого есть какой-то спецальный алгоритм?

[alcoholist]

illuminates в сообщении #1292527 писал(а):

из того что получается у меня
$S= \begin{pmatrix} \frac{-8im}{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}} & \frac{8im}{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}} \\ \sqrt{\frac{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}}{a^{2}-p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}}} & \sqrt{\frac{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}}{-a^{2}+p^2+\sqrt{64 m^{2}+(a^{2}-p^2)^2}+64 m^{2}}} \\ \end{pmatrix}$

тут с размерностью что-то не так, откуда следует, что есть арифметические ошибки