Если

простое, то все числа от

до

включительно представимы в виде суммы простого числа простых чисел. Доказательство: если

, то возьмём сумму

двоек и будем заменять двойки на тройки, пока не получим

. Если

включительно, то возьмём сумму

троек и будем заменять их на пятёрки, пока не получим

или

. Если получили

и осталась хоть одна тройка, заменим её на двойку. Если получили

и остались одни пятёрки, заменим две из них на 2 и 7.
Теперь докажем, что любое натуральное от 15 представимо в виде суммы простого числа простых чисел. Пусть

, тогда обозначим

, округлённое вниз. По постулату Бертрана, в интервале
![$[y,2y]$ $[y,2y]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/7/557fb9f61e383b965b62eeddcff5929082.png)
есть хотя бы одно простое число. Обозначим его

. Нам достаточно доказать, что

. В самом деле,

, a

Кроме того, поскольку 2 и 3 простые, то все числа от 4 до 10, а также от 6 до 15, представимы как сумма простого числа простых чисел.
Значит, все числа от 4 представимы как сумма простого числа простых чисел.