2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 17 непредставимых чисел
Сообщение12.02.2018, 15:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Назовём натуральное число представимым, если его можно представить как в виде суммы простого числа составных чисел, так и в виде суммы составного числа составных чисел, а также в виде суммы простого числа простых чисел и в виде суммы составного числа простых чисел.

В противном случае назовём натуральное число непредставимым.

Докажите, что существует ровно 17 непредставимых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: 17 непредставимых чисел
Сообщение12.02.2018, 17:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Первое представимое число это $16=5+11=3+3+5+5=8+8=4+4+4+4$ (ПП,ПС, СП,СС). Так как $4$ наименьшее составное, то от $1$ до $15$ все число непредставимы. Ну и $17$ и $19$ тоже из-за формата СС. В других форматах все числа, начиная с $12$ представимы. Вот они 17 непредставимых чисел.
То есть в пределах двадцатки задача решена. Ну а дальше тоже, наверное :-) .
Там тысячи теорем.

 Профиль  
                  
 
 Re: 17 непредставимых чисел
Сообщение12.02.2018, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8352
Цюрих
Составное число простых чисел получить всегда можно: если четное, то разбиваем на двойки, если нечетное - то на двойки и одну тройку. Если случайно получилось простое число, то переразбиваем три двойки на две тройки. Аналогично с составным числом составных: разбиваем на четверки, останется число от $0$ до $3$, если не $0$, то приклеиваем нужное число четверок к остатку, чтобы получилось $9$, $10$ или $15$. С простым числом составнях похоже: разбиваем на составное число составных, из которых все, кроме одного - четверки, дальше склеиваем четверки, пока не получим простое число.
Для простого числа простых надо думать, либо знать какой-то результат, которого я не знаю (ну или поверить в гипотезу Гольдбаха).

 Профиль  
                  
 
 Re: 17 непредставимых чисел
Сообщение12.02.2018, 23:45 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
mihaild в сообщении #1292062 писал(а):
Для простого числа простых надо думать, либо знать какой-то результат, которого я не знаю (ну или поверить в гипотезу Гольдбаха).

Там попроще...

 Профиль  
                  
 
 Re: 17 непредставимых чисел
Сообщение12.02.2018, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8352
Цюрих
Ну да, можно разбить на двойки и одну-две тройки, потом переразбивать либо семерки двоек в пару семерок, либо тройки двоек в пару троек - получается разбиение на от чуть меньше чем $\frac{n}{2}$ слагаемых до на чуть больше чем $\frac{n}{7}$, а простое число в этом промежутке найдется.

 Профиль  
                  
 
 Re: 17 непредставимых чисел
Сообщение13.02.2018, 00:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
mihaild
Можно даже ещё проще...

 Профиль  
                  
 
 Re: 17 непредставимых чисел
Сообщение16.03.2018, 07:00 


09/03/18
16
Если $p$ простое, то все числа от $2p$ до $5p$ включительно представимы в виде суммы простого числа простых чисел. Доказательство: если $2p\le x\le 3p$, то возьмём сумму $p$ двоек и будем заменять двойки на тройки, пока не получим $x$. Если $3p<x\le 5p$ включительно, то возьмём сумму $p$ троек и будем заменять их на пятёрки, пока не получим $x$ или $x+1$. Если получили $x+1$ и осталась хоть одна тройка, заменим её на двойку. Если получили $x+1$ и остались одни пятёрки, заменим две из них на 2 и 7.

Теперь докажем, что любое натуральное от 15 представимо в виде суммы простого числа простых чисел. Пусть $x\ge 15$, тогда обозначим $y=x/4$, округлённое вниз. По постулату Бертрана, в интервале $[y,2y]$ есть хотя бы одно простое число. Обозначим его $p$. Нам достаточно доказать, что $2p\le x\le 5p$. В самом деле, $2p\le 2(2y)=4y\le 4(x/4)=x$, a $5p\ge 5y\ge 5(x/4-3/4)=x+x/4-15/4=x+(x-15)/4\ge x$

Кроме того, поскольку 2 и 3 простые, то все числа от 4 до 10, а также от 6 до 15, представимы как сумма простого числа простых чисел.

Значит, все числа от 4 представимы как сумма простого числа простых чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group