2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 14:58 


11/02/18
11
Всплыла задача следующего вида: найти статистическую сумму для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Энергия в ней выражается как $E_k=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{k\pi}a\right)^2$
В результате задача сводится к вычислению суммы следующего ряда: $S=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}$, где $a\in (0,1)$. Чую, что это какой-то простой и давно изученный ряд, но никаких указаний по нахождению суммы не нашёл. Помогите, пожалуйста, а то долго уже в голове вертится. Или книгу какую-то дайте, где подобное разбирается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Не думаю, что в конечном виде посчитается, т.к. напоминает мне о тета-функции. Скорее всего, как-то к ней сводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 16:29 


11/02/18
11
Блин. Мне тоже так начало казаться, но подумал, что упускаю что-то.
Ладно, тогда просто оценку погрешности тут оставлю, вдруг кому ещё пригодится:

$R_n\leq \frac{a^{(n+1)^2}}{1-a}$

В принципе, для практических целей должно хватить. В указанной задаче при размере ямы $1\mathring{A}$ чтобы получить $a=0.5$ придётся взять температуру порядка 600 000 кельвинов. Кажется, более чем достаточный запас, учитывая что для точности $10^{-10}$ достаточно 5 членов.

UPD: а, и правда к тета-функции сводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 17:11 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Ряд вряд ли сходится к чему-то знакомому. Иначе это был бы самый быстрый способ вычисления мат. констант. Теория подходящих дробей сего не допускает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 18:52 


11/02/18
11
atlakatl в сообщении #1291835 писал(а):
Ряд вряд ли сходится к чему-то знакомому. Иначе это был бы самый быстрый способ вычисления мат. констант. Теория подходящих дробей сего не допускает.


https://en.wikipedia.org/wiki/Theta_fun ... a_function
Ну тут есть представление тета-функции, которое один в один совпадает с искомым рядом (там есть ещё один сомножитель, но его никто не мешает положить равным единице).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 19:10 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Tavi
Ну не совсем чтобы один-в-один. Знакопеременность тоже имеет значение. Ну и коэффициенты в степени разные.
Короче, у Вас есть только один путь: написать конкретную формулу и отстоять её.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 20:41 


11/02/18
11
atlakatl в сообщении #1291853 писал(а):
Короче, у Вас есть только один путь: написать конкретную формулу и отстоять её.



Да без проблем. По определению, тета-функция
$\vartheta_0(z,\tau)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n e^{i\pi n^2 \tau+2i\pi nz}$
Зафиксируем желаемый $a\in(0,1)$ и вычислим
$\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n a^{n^2}e^{i\pi n}$
Последний сомножитель это просто $e^{i\pi n}=(-1)^n$, он компенсирует первый сомножитель. Нулевой член ряда — единица. Так как $a^{n^2}=a^{(-n)^2}$, можно разбить ряд на два одинаковых и в результате
$\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})=1+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}$

Что, собственно говоря, и требовалось.

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}=\left(\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})-1\right)/2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 21:40 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Tavi в сообщении #1291873 писал(а):
$\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n a^{n^2}e^{i\pi n}$

Мощно. если $a=e$, то $\pi$вычисляется на раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение11.02.2018, 23:13 


11/02/18
11
atlakatl в сообщении #1291886 писал(а):
Мощно. если $a=e$, то $\pi$вычисляется на раз.


Ну $a=e$ не получится, расходится же. А как $\pi$ вычислить? Я вообще не вижу отсылок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение12.02.2018, 05:09 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Tavi в сообщении #1291899 писал(а):
А как $\pi$ вычислить?

Да, не получается. Ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение12.02.2018, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Tavi в сообщении #1291899 писал(а):
Ну $a=e$ не получится, расходится же.

Так ведь можно $a=e^{-1}$.

-- Пн фев 12, 2018 10:28:43 --

И, кстати, согласно http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html, $$
\sum_{n\in\mathbb{Z}}a^{n^2}=\vartheta_3(0,a)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение12.02.2018, 13:52 


11/02/18
11
alcoholist в сообщении #1291953 писал(а):

И, кстати, согласно http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html, $$
\sum_{n\in\mathbb{Z}}a^{n^2}=\vartheta_3(0,a)
$$


Ну вообще, все перечисленные там функции получаются жонглированием аргументами из той, которую я дал. Кажется, обратное тоже верно — выписанная мной без проблем выражается через любую из тех. Это просто разные представления для удобства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение14.02.2018, 19:42 


11/02/18
11
Простите, я тут новенький, поэтому вопрос: а как сообщить модератору, что тему можно закрыть и перенести в соответствующий раздел? А то уже обсудили всё что можно, нашли точный ответ, нашли оценку ошибки, нашли разные представления. Разве что график вставить можно:
$$f(a)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}$$
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите найти статистическую сумму
Сообщение14.02.2018, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Tavi)

Tavi в сообщении #1292491 писал(а):
Простите, я тут новенький, поэтому вопрос: а как сообщить модератору, что тему можно закрыть и перенести в соответствующий раздел?
Если у Вас есть какой-то вопрос к конкретному модератору, ему можно написать личное сообщение. Общий вопрос можно задать в разделе "Работа форума". В данном случае Вам беспокоиться ни о чём не надо: тема и так находится в соответствующем разделе, а закрывать тему без существенной причины никто не будет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kthxbye, Mikhail_K, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group