Помогите найти статистическую сумму

[Tavi]

Всплыла задача следующего вида: найти статистическую сумму для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Энергия в ней выражается как $E_k=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{k\pi}a\right)^2$
В результате задача сводится к вычислению суммы следующего ряда: $S=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}$, где $a\in (0,1)$. Чую, что это какой-то простой и давно изученный ряд, но никаких указаний по нахождению суммы не нашёл. Помогите, пожалуйста, а то долго уже в голове вертится. Или книгу какую-то дайте, где подобное разбирается.

[thething]

Не думаю, что в конечном виде посчитается, т.к. напоминает мне о тета-функции. Скорее всего, как-то к ней сводится.

[Tavi]

Блин. Мне тоже так начало казаться, но подумал, что упускаю что-то.
Ладно, тогда просто оценку погрешности тут оставлю, вдруг кому ещё пригодится:

$R_n\leq \frac{a^{(n+1)^2}}{1-a}$

В принципе, для практических целей должно хватить. В указанной задаче при размере ямы $1\mathring{A}$ чтобы получить $a=0.5$ придётся взять температуру порядка 600 000 кельвинов. Кажется, более чем достаточный запас, учитывая что для точности $10^{-10}$ достаточно 5 членов.

UPD: а, и правда к тета-функции сводится.

[atlakatl]

Ряд вряд ли сходится к чему-то знакомому. Иначе это был бы самый быстрый способ вычисления мат. констант. Теория подходящих дробей сего не допускает.

[Tavi]

atlakatl в сообщении #1291835 писал(а):

Ряд вряд ли сходится к чему-то знакомому. Иначе это был бы самый быстрый способ вычисления мат. констант. Теория подходящих дробей сего не допускает.

https://en.wikipedia.org/wiki/Theta_fun ... a_function
Ну тут есть представление тета-функции, которое один в один совпадает с искомым рядом (там есть ещё один сомножитель, но его никто не мешает положить равным единице).

[atlakatl]

Tavi
Ну не совсем чтобы один-в-один. Знакопеременность тоже имеет значение. Ну и коэффициенты в степени разные.
Короче, у Вас есть только один путь: написать конкретную формулу и отстоять её.

[Tavi]

atlakatl в сообщении #1291853 писал(а):

Короче, у Вас есть только один путь: написать конкретную формулу и отстоять её.

Да без проблем. По определению, тета-функция
$\vartheta_0(z,\tau)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n e^{i\pi n^2 \tau+2i\pi nz}$
Зафиксируем желаемый $a\in(0,1)$ и вычислим
$\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n a^{n^2}e^{i\pi n}$
Последний сомножитель это просто $e^{i\pi n}=(-1)^n$, он компенсирует первый сомножитель. Нулевой член ряда — единица. Так как $a^{n^2}=a^{(-n)^2}$, можно разбить ряд на два одинаковых и в результате
$\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})=1+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}$

Что, собственно говоря, и требовалось.

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}=\left(\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})-1\right)/2$

[atlakatl]

Tavi в сообщении #1291873 писал(а):

$\vartheta_0(0.5,-\frac{i}\pi\ln{(a)})=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n a^{n^2}e^{i\pi n}$

Мощно. если $a=e$, то $\pi$вычисляется на раз.

[Tavi]

atlakatl в сообщении #1291886 писал(а):

Мощно. если $a=e$, то $\pi$вычисляется на раз.

Ну $a=e$ не получится, расходится же. А как $\pi$ вычислить? Я вообще не вижу отсылок.

[atlakatl]

Tavi в сообщении #1291899 писал(а):

А как $\pi$ вычислить?

Да, не получается. Ошибся.

[alcoholist]

Tavi в сообщении #1291899 писал(а):

Ну $a=e$ не получится, расходится же.

Так ведь можно $a=e^{-1}$.

-- Пн фев 12, 2018 10:28:43 --

И, кстати, согласно http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html,

$$ \sum_{n\in\mathbb{Z}}a^{n^2}=\vartheta_3(0,a) $$

[Tavi]

alcoholist в сообщении #1291953 писал(а):

И, кстати, согласно http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html,

$$ \sum_{n\in\mathbb{Z}}a^{n^2}=\vartheta_3(0,a) $$

Ну вообще, все перечисленные там функции получаются жонглированием аргументами из той, которую я дал. Кажется, обратное тоже верно — выписанная мной без проблем выражается через любую из тех. Это просто разные представления для удобства.

[Tavi]

Простите, я тут новенький, поэтому вопрос: а как сообщить модератору, что тему можно закрыть и перенести в соответствующий раздел? А то уже обсудили всё что можно, нашли точный ответ, нашли оценку ошибки, нашли разные представления. Разве что график вставить можно:

$$f(a)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a^{n^2}$$

[Someone]

(Tavi)

Tavi в сообщении #1292491 писал(а):

Простите, я тут новенький, поэтому вопрос: а как сообщить модератору, что тему можно закрыть и перенести в соответствующий раздел?

Если у Вас есть какой-то вопрос к конкретному модератору, ему можно написать личное сообщение. Общий вопрос можно задать в разделе "Работа форума". В данном случае Вам беспокоиться ни о чём не надо: тема и так находится в соответствующем разделе, а закрывать тему без существенной причины никто не будет.