2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Фубини не через суммы Дарбу
Сообщение11.02.2018, 14:09 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Один из вариантов теоремы Фубини.
Если функция $f$ интегрируема по Риману на промежутке $X \times Y \subset \mathbb R^{m+n},$ где $X, Y -$ промежутки на $\mathbb R^m, \mathbb R^n$ соответственно, то существуют интегралы (повторные) $$\int\limits_{X}dx\int\limits_{Y} f(x, y)dy,\;\; \int\limits_{Y}dy\int\limits_{X} f(x, y)dx, $$
равные $\int\limits_{X \times Y} f(x, y)dxdy.$ Под промежутками тут понимаются обычные параллелепипеды.

Мне известно доказательство этой теоремы через суммы Дарбу. Такой подход позволяет работать только с вещественнозначными функциями. А существует ли доказательство этой теоремы (или видоизменение самой теоремы), позволяющее работать с функциями со значениями на любых полных линейных пространствах? К примеру, с комплекснозначными функциями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Фубини не через суммы Дарбу
Сообщение11.02.2018, 14:30 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
SomePupil в сообщении #1291798 писал(а):
К примеру, с комплекснозначными функциями?

случай функций со значениями в $\mathbb{R}^k$ вообще ни как не отличается от скалянозначного

-- 11.02.2018, 15:36 --

SomePupil в сообщении #1291798 писал(а):
А существует ли доказательство этой теоремы (или видоизменение самой теоремы), позволяющее работать с функциями со значениями на любых полных линейных пространствах?

про теорию интеграла Римана для функций со значениями в произвольном банаховом пространстве я как-то не слышал, а интеграл Лебега, да обобщается, и там ключевую роль играет не только полнота но и сепарабельнсть пространства или сепарабельнозначность функций. см Лоран Шварц "Анализ " том 1 В других книжках эт обычно называется интеграл Бохнера

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Фубини не через суммы Дарбу
Сообщение11.02.2018, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
SomePupil в сообщении #1291798 писал(а):
К примеру, с комплекснозначными функциями?

Это криволинейные интегралы имеются ввиду что ли? Как-то сомнительно, что там можно даже порядок интегрирования менять. Допустим, внутри одной кривой функция регулярна, а внутри другой -- имеет изолированные особые точки.. Или я не понял, и имеется ввиду интеграл по области от комплекснозначной функции? Тогда это то же самое, что и интеграл от вектор-функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Фубини не через суммы Дарбу
Сообщение11.02.2018, 15:00 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
pogulyat_vyshel в сообщении #1291801 писал(а):
случай функций со значениями в $\mathbb{R}^k$ вообще ни как не отличается от скалянозначного

thething в сообщении #1291802 писал(а):
Тогда это то же самое, что и интеграл от вектор-функции.

Шел третий семестр. Падал снег. Студент все еще не знал, что можно интегрировать и вектор-функции :facepalm:

Только сейчас дошло, что покомпонентное интегрирование $-$ достаточно адекватное действо (как в школе, типа перемещение (которое на $\mathbb R^3$) есть интеграл от скорости). Просто меня супремумы и инфимумы смутили, которые сугубо для $\mathbb R$ определены.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group