Теорема Фубини не через суммы Дарбу

[SomePupil]

Один из вариантов теоремы Фубини.
Если функция $f$ интегрируема по Риману на промежутке $X \times Y \subset \mathbb R^{m+n},$ где $X, Y -$ промежутки на $\mathbb R^m, \mathbb R^n$ соответственно, то существуют интегралы (повторные)

$$\int\limits_{X}dx\int\limits_{Y} f(x, y)dy,\;\; \int\limits_{Y}dy\int\limits_{X} f(x, y)dx, $$

равные $\int\limits_{X \times Y} f(x, y)dxdy.$ Под промежутками тут понимаются обычные параллелепипеды.

Мне известно доказательство этой теоремы через суммы Дарбу. Такой подход позволяет работать только с вещественнозначными функциями. А существует ли доказательство этой теоремы (или видоизменение самой теоремы), позволяющее работать с функциями со значениями на любых полных линейных пространствах? К примеру, с комплекснозначными функциями?

[pogulyat_vyshel]

SomePupil в сообщении #1291798 писал(а):

К примеру, с комплекснозначными функциями?

случай функций со значениями в $\mathbb{R}^k$ вообще ни как не отличается от скалянозначного

-- 11.02.2018, 15:36 --

SomePupil в сообщении #1291798 писал(а):

А существует ли доказательство этой теоремы (или видоизменение самой теоремы), позволяющее работать с функциями со значениями на любых полных линейных пространствах?

про теорию интеграла Римана для функций со значениями в произвольном банаховом пространстве я как-то не слышал, а интеграл Лебега, да обобщается, и там ключевую роль играет не только полнота но и сепарабельнсть пространства или сепарабельнозначность функций. см Лоран Шварц "Анализ " том 1 В других книжках эт обычно называется интеграл Бохнера

[thething]

SomePupil в сообщении #1291798 писал(а):

К примеру, с комплекснозначными функциями?

Это криволинейные интегралы имеются ввиду что ли? Как-то сомнительно, что там можно даже порядок интегрирования менять. Допустим, внутри одной кривой функция регулярна, а внутри другой -- имеет изолированные особые точки.. Или я не понял, и имеется ввиду интеграл по области от комплекснозначной функции? Тогда это то же самое, что и интеграл от вектор-функции.

[SomePupil]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291801 писал(а):

случай функций со значениями в $\mathbb{R}^k$ вообще ни как не отличается от скалянозначного

thething в сообщении #1291802 писал(а):

Тогда это то же самое, что и интеграл от вектор-функции.

Шел третий семестр. Падал снег. Студент все еще не знал, что можно интегрировать и вектор-функции

Только сейчас дошло, что покомпонентное интегрирование $-$ достаточно адекватное действо (как в школе, типа перемещение (которое на $\mathbb R^3$) есть интеграл от скорости). Просто меня супремумы и инфимумы смутили, которые сугубо для $\mathbb R$ определены.