Построить пример области

[jdex]

Доброго времени суток!

Есть небольшая задачка из Кудрявцева:

Цитата:

Построить пример области $G$, в замыкании $\bar{G}$ которой существуют две точки, не соединяемые в $\bar{G}$ непрерывной кривой

Если честно, то мне даже трудно представить, какая может быть область, замыкание которой перестает быть линейно связным множеством. Стоит смотреть в сторону неограниченности? Буду благодарен любым подсказкам.

[mihaild]

Вы стандартный пример связного, но не линейно связного множества на плоскости знаете? Можете придумать, какое взять открытое множество, чтобы его замыканием был почти этот пример?

[Someone]

jdex в сообщении #1291660 писал(а):

Стоит смотреть в сторону неограниченности?

Не сто́ит. Попробуйте вытянуть из области тонкий рукав и как-нибудь его так "запутать", чтобы получилось то, что требуется.

[jdex]

Спасибо всем за ответы и намеки.

Я сейчас изучаю курс матанализа и пока не готов глубже вникать в топологию (задачка из курса матанализа). Нашел в интернете пример функции для двумерного случая, о котором говорил mihaild: $y=\sin(\frac{1}{x})$. Тогда искомое открытое множество может быть задано, напрмер, так:

$$G=\left\lbrace(x,y): 0<x<\frac{1}{\pi}, 0<y<2+\sin(\frac{1}{x})\right\rbrace$$

Если я правильно понимаю пример, то после замыкания любую точку $[1,3]$ оси $Oy$ нельзя соединить непрерывной кривой с точкой множества.

[Red_Herring]

jdex в сообщении #1291816 писал(а):

нельзя

Можно

Но это good start.