Теория чисел. Подбор конструкции.

[Tot]

Вопрос возник несколько недель назад при рассмотрении модульного подхода к элементарному доказательству ВТФ.
Рассмотрим $a\mod M$. Переменные натуральные.
Тогда $\varphi(M)\not=2^\alpha s$. Альфа натуральна, $s$-простое число Серпинского.
Другими словами нельзя подобрать модуль, чтобы функция Эйлера была в указанном виде.
Можно ли это получить при обобщении конструкции натурального числа как для модуля $M$, так и для основания $a$, чтобы функция Эйлера была такой, а в некотором вырожденном случае новых конструкций получались натуральные числа?
Прятать излишек функции Эйлера, чтобы получить нужную степень, дающую единицу, в основании $a$ запрещено.
Почитал про числа Гаусса, но там никаких сдвигов в лучшую сторону по сравнению с натуральными числами нет, поэтому, если правильно понял, дальнейшее обобщение в ту сторону, когда число состоит из более двух частей, смысла не имеет.
В науч.-поп. статье вычитал, что исторически доказательства ВТФ для пяти и семи вытекают из ошибочных доказательств общего случая ВТФ при введении в числа типа чисел Гаусса радикалов из-за неоднозначности разложения многочленов.
Может быть числа с радикалами дают положительный ответ на поставленный вопрос?