Как посчитать сумму ряда n/(2^n)?

[ellipse]

Как можно посчитать сумму ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$? С чего начинать?

[pogulyat_vyshel]

$$\sum_{k=1}^\infty x^k=?\quad \frac{d}{dx}\sum_{k=1}^\infty x^k=?$$

[thething]

Рассмотрите $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}x^{n-1}$ и проинтегрируйте почленно в пределах $[0,x]$. Затем -- геометрическая прогрессия, дифференцирование и предел при $x\to{1-}$. При этом Вы должны, случись чего, обосновать возможность таких операций, как почленное интегрирование и предельный переход.

[B@R5uk]

Ещё есть вариант разложить в двойную сумму. Внутренняя сумма будет обычной геометрической прогрессией, причём после подсчёта внутренней суммы окажется, что каждая следующая прогрессия будет давать результат вдвое меньший. То есть внешняя сумма тоже будет геометрической прогрессией.

[grizzly]

ellipse в сообщении #1290550 писал(а):

С чего начинать?

Начните с чего-нибудь простого:

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\cdots $$

А потом просуммируйте эти суммы и, наконец, то что получится.

-- 06.02.2018, 14:34 --

Только отправив это сообщение, я понял, что повторил предыдущее, просто не такими умными словами