Простые близнецы

[Uchitel'_istorii]

Простые близнецы - пары простых чисел $p, p+2$.
Желая изобразить решето Эратосфена графически, я взял функцию $c(x)=\prod \sin(\tfrac{\pi x}{p_i})$, где $p_i$ -- $i$-ое простое число, $p_1 = 2$. Период функции равен $T = 2\cdot \prod p_i, есть также симметрия относительно $T/2$ и $T/4$.
Нули функции соответствуют аргументам, равным составным числам.
Рассмотрим вначале $c_2(x)= \sin(\tfrac{\pi x}{2}) \sin(\tfrac{\pi x}{3}) $:
gif


$T_2 = 2(2\cdot 3) = 12$. Если для удобства подсчетов учесть пару $(1,11)$, то на интервале $(0; T_2)$ можно выделить $N_2 = 4$ простых числа , составляющих пары . На интервале $(0; p_3T_2)$ имеем $N_2p_3$ числа. Т.к. $p_3$ и $T_2$ не имеют общих делителей, то умножение на $\sin(\tfrac{\pi x}{p_3}) $ отсеивает $N_2$ из $N_2p_3$ чисел. Т.к. $p_3>2$, каждое отсеянное число входит в разные пары, т.о. отсеивается $N_2$ пар или $2N_2$ чисел. Следовательно на интервале $(0; p_3T_2)$ остается $N_3 = N_2p_3-2N_2 = N_2(p_3 - 2)$ чисел. Гарантированно простые числа находятся на интервале $(0; p_4^2) \subset (0; p_3T_2)$. Но т.к. пары распределены равномерно, то количество пропорционально интервалам.

Т.е. количество простых чисел, составляющих пары, на интервале $(0; p_{i+2}^2) $ :
$N''_{i+1}= N_{i+1}\tfrac{p_{i+2}^2}{T_{i+1}} = N_i(p_{i+1}-2)\tfrac{p_{i+2}^2}{2(p_1p_2\cdot...\cdot p_{i+1})} $
$i\ge 2, N_{2} = 4$. Здесь не учтено отсеивание пар в начале интервала, поэтому оценка занижена.
$ N''_{i+1} = N_2(p_{3}-2)...(p_{i+1}-2)\tfrac{p_{i+2}^2}{2(p_1p_2\cdot...\cdot p_{i+1})} = \tfrac {N_2p_{i+2}^2}{2p_1p_2} \tfrac{(p_{3}-2)...(p_{i+1}-2)}{p_{3}\cdot...\cdot p_{i+1}} = \tfrac {N_2p_{i+2}^2}{2p_1p_2} e^{\ln \tfrac{(p_{3}-2)...(p_{i+1}-2)}{p_{3}\cdot...\cdot p_{i+1}}} =\tfrac {N_2p_{i+2}^2}{2p_1p_2} \Big[\tfrac{(p_{3}-1)...(p_{i+1}-1)}{p_{3}\cdot...\cdot p_{i+1}}\Big]^2,
т.к.\lim\limits_{j \to \infty}\tfrac{\sum \ln (1-\tfrac{2}{p_j}) }{\sum \ln (1-\tfrac{1}{p_j})} = \tfrac{\sum (-\tfrac{2}{p_j}) }{\sum (-\tfrac{1}{p_j})} = 2



Аналогичные рассуждения для всех простых чисел (включая неблизнецов) дают*:
$N'_{i+1}= \tfrac {N_2p_{i+2}^2}{2p_1p_2} \tfrac{(p_{3}-1)...(p_{i+1}-1)}{p_{3}\cdot...\cdot p_{i+1}}

(*)

С учетом отсеивания в начале:
$N'_{i+1}=i+1+ \tfrac {N_2p_{i+2}^2}{2p_1p_2} \tfrac{(p_{3}-1)...(p_{i+1}-1)}{p_{3}\cdot...\cdot p_{i+1}}

Согласно теореме о распределении простых чисел:
$N'_{i+1}= \tfrac{p_{i+2}^2}{\ln (p_{i+2}^2)}


$ \therefore N''_{i+1} = \tfrac {N_2p_{i+2}^2}{2p_1p_2} \Big[\tfrac{(p_{3}-1)...(p_{i+1}-1)}{p_{3}\cdot...\cdot p_{i+1}}\Big]^2 =\tfrac {N_2p_{i+2}^2}{2p_1p_2} \Big[ \tfrac{2p_1 p_2}{N_2 \ln (p_{i+2}^2)} \Big]^2 =\tfrac{2p_1 p_2p_{i+2}^2}{N_2\ln^2 (p_{i+2}^2) }

\lim\limits_{p \to \infty}\tfrac{2p_1 p_2p^2}{N_2\ln^2 (p^2) } = \infty

Правомочно ли доказательство?