Делимость суммы и слагаемого

[CMTV]

Здравствуйте!

Не так давно доказал теорему, которая утверждает, что если все слагаемые суммы делятся на число, то и сумма делится на это число.
Теорема имеет важное следствие: если сумма и одно из слагаемых делится на число, то и все остальные слагаемые тоже на него делятся.

Рассмотрим сумму $a+2 = 3$. Любое число можно разделить на другое с остатком. Разделим $a$ на 3 с остатком: $a= 3k+t$.

Следовательно, $3k+t+2=3$. $3k\ \vdots \ 3$, а значит $t\ \vdots \ 3$ и $2\ \vdots \ 3$. Но этого не может быть!

Что я делаю не так?

[Lia]

CMTV в сообщении #1289570 писал(а):

Что я делаю не так?

CMTV в сообщении #1289570 писал(а):

а значит $t\ \vdots \ 3$ и $2\ \vdots \ 3$.

-- 03.02.2018, 01:35 --

CMTV в сообщении #1289570 писал(а):

если сумма и одно из слагаемых делится на число, то и все остальные слагаемые тоже на него делятся.

$6=3+1+2$.
?

[mihaild]

CMTV в сообщении #1289570 писал(а):

Теорема имеет важное следствие: если сумма и одно из слагаемых делится на число, то и все остальные слагаемые тоже на него делятся.

Следствие не такое. Должно быть: если сумма $n$ слагаемых и какой-то набор из $n-1$ слагаемого делятся на число, то и последнее на него делится.

[CMTV]

Извиняюсь. На самом деле в книге указывалось такое следствие:

Цитата:

Если сумма двух чисел и одно из слагаемых делятся на некоторое число, то другое слагаемое тоже делится на это число.

Я так понял это почти тоже самое, что написал mihaild.

А я во время составления конспекта (~5 дней назад) не стал проверять следствие и записал/запомнил вариант из первого сообщения.
И вот только сейчас, при решении задач на делимость, вскрылось... Лучше поздно, чем никогда)

[Lia]

CMTV
А Вы их доказывайте. У следствия этого очень простое доказательство, и если бы Вы попробовали доказать - путаницы бы не возникло.

[mihaild]

CMTV в сообщении #1289578 писал(а):

Я так понял это почти тоже самое, что написал mihaild.

Это частный случай того, что я написал, для двух слагаемых:)

[wrest]

CMTV в сообщении #1289570 писал(а):

Не так давно доказал теорему, которая утверждает, что если все слагаемые суммы делятся на число, то и сумма делится на это число.

Это же проходят в младших классах школы на уроках математики, где называют эту теорему "распределительный закон умножения относительно сложения", да? В 4-м классе, вроде. Или вы о чем-то другом?

[arseniiv]

wrest в сообщении #1289591 писал(а):

Или вы о чем-то другом?

Это другое. Тут $n|a_1 \wedge \ldots \wedge n|a_k \Rightarrow n|(a_1 + \ldots a_k)$.

-- Сб фев 03, 2018 03:15:03 --

Конечно, ассоциативностью это обычно и доказывается. Да, зря написал.

[CMTV]

Lia в сообщении #1289582 писал(а):

А Вы их доказывайте.

Вы правы. Так и сделаю (и впредь буду делать).

wrest в сообщении #1289591 писал(а):

эту теорему называют "распределительный закон умножения относительно сложения"

Я знаю только то, что дистрибутивность умножения относительно сложения состоит в следующем: $a(b+c) = ab+ac$. И про делимость в этой трактовке тут речи не идет (особенно если мы рассматриваем не числа). В моем же случае имеем не 3 числа, а $n$ чисел, а речь идет именно о делимости слагаемых и суммы. Конечно, с помощью дистрибутивности оно и доказывается, но все же это немного другое (по моему мнению). Во всяком случае, в книге Признаки делимости Н.Н. Воробьев называет это утверждение именно теоремой (стр. 10).

[beroal]

CMTV в сообщении #1289570 писал(а):

Теорема имеет важное следствие: если сумма и одно из слагаемых делится на число, то и все остальные слагаемые тоже на него делятся.

Есть разница между 2-местной суммой ($x_0+x_1$) и $n$-местной суммой (например, $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4$). Я считаю, в формулировке теоремы надо это уточнить.

[grizzly]

beroal

(Оффтоп)

beroal в сообщении #1289860 писал(а):

Есть разница между 2-местной суммой ($x_0+x_1$) и $n$-местной суммой (например, $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4$). Я считаю, в формулировке теоремы надо это уточнить.

Там даже ссылка есть на книгу, в которой всё подробно уточнено -- проверьте. В ПРР желательно не безобразничать таким образом.

[beroal]

grizzly в сообщении #1289868 писал(а):

Там даже ссылка есть на книгу, в которой всё подробно уточнено -- проверьте.

В книге уточнено, а у инициатора темы нет, отсюда и его проблема. На что я намекал.