При каких a корни отрицательны

[Ivan 09]

есть вопросы по поводу решения системы. но по порядку.
дано уравнение
$x^2-(a+1)x+a+4=0$
При каких $a$ корни отрицательны?

заменил для удобства
$z=a+1$
Тогда
$x^2-zx+z+3=0$
Я понимаю надо, чтобы дискриминант был больше нуля? а корни отрицательные.
Получиться система из трех уравнений.

$$ \left\{ \aligned z^2 -4z-12\geqslant{0}\\ z+\sqrt{z^2 -4z-12}<0,\\ z-\sqrt{z^2 -4z-12}<0 \endaligned\right.\eqno $$

можно ли возвести в квадрат второе и третье уравнение?
или здесь надо разбить на положительную и отрицательную составляющие z?

[thething]

А не проще графически решить, записав $x^2=(a+1)x-a-4$

[Ivan 09]

thething
спасибо я понял идею, то есть после записи уравнения можно почти сразу сказать что только при $a=-1$?
я почему то сегодня туго соображаю и поторопился, сейчас решу

[eugensk]

Есть теорема Виета.
Когда оба корня отрицательны, что можно сказать про их сумму и произведение?

[thething]

Сразу ясно, что $a+1<0$, а далее Вам надо эту прямую всячески крутить и перемещать, чтобы было 2 общие точки с параболой. Для начала можно найти такое $a$, при котором решение единственно и именно отрицательно, а потом от данной прямой смотреть. Графики при этом очень сильно помогают

[Ivan 09]

eugensk
значит произведение положительно, а сумма отрицательна
thething
мне надо немного времени, спасибо вам

[thething]

Ivan 09
Если захотите воспользоваться теоремой Виета, то не забудьте потребовать дополнительно, чтобы было $D>0$, иначе при некоторых $a$ получите пару комплексных корней, удовлетворяющих Вашему условию

Ivan 09 в сообщении #1289384 писал(а):

значит произведение положительно, а сумма отрицательна

[DeBill]

Ivan 09 в сообщении #1289371 писал(а):

можно ли возвести в квадрат второе и третье уравнение?

Можно. Только делать это надо аккуратно...
Во втором: оставить корень слева. Это сразу даст отрицательность $z$. Тогда: третье надо просто выбросить, а вот второе теперь можно возвести в квадрат.
А вообще, для таких задач более эффективным является геометрическое описание условий задачи в терминах "вершина параболы", и т.п. Например, у Вас: отрицательность обоих корней означает: неотрицательность дискриминанта, "вершина - слева", "в нуле - положительное значение". Видим, что это - ровно то, что получено при решении Вашей системы....