Задачка по теории чисел

[lexus c.]

Существуют ли такие рациональные

\[ \begin{gathered} \alpha _i \hfill \\ \end{gathered} \]

и

\[ \begin{gathered} \beta _i \hfill \\ \end{gathered} \]

, что

\[ \begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\alpha _i {\text{ + }}\beta _i \sqrt 2 } \right)} ^2 = 5 + 4\sqrt 2 ? \hfill \\ \end{gathered} \]

[bot]

Если да, то

\[ \begin{gathered} \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\alpha _i {\text{ - }}\beta _i \sqrt 2 } \right)} ^2 = 5 - 4\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \]

, что невозможно из-за разных знаков частей равенства.

[Kid Kool]

Нет.

Раскроем скобки, приравняем множители при $\sqrt 2$ и воспользуемся тем, что $\alpha_i^2 + 2\beta_i^2 \geqslant 2{\sqrt 2}\alpha_i\beta_i$

[lexus c.]

Всем спасибо, всё ясно )
А вот с этой задачкой не поможете:
Доказать, что

\[ \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n \]

представимо в виде

\[ \sqrt {m + 1} - \sqrt m \]

, где

\[ m \in \mathbb{N} \]

.

[maxal]

lexus c. писал(а):

Доказать, что

\[ \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n \]

представимо в виде

\[ \sqrt {m + 1} - \sqrt m \]

, где

\[ m \in \mathbb{N} \]

.

Раскройте скобки и соберите отдельно положительные, отдельно отрицательные члены - это и будут $\sqrt{m+1}$ и $-\sqrt{m}$, что следует из того факта, что

$$\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n = 1 = (\sqrt{m+1})^2 - (\sqrt{m})^2.$$

[lexus c.]

maxal, большое спасибо)