2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка по теории чисел
Сообщение14.03.2008, 16:31 


25/06/07
124
Новосибирск
Существуют ли такие рациональные \[
\begin{gathered} \alpha _i  \hfill \\ \end{gathered} 
\] и \[
\begin{gathered} \beta _i  \hfill \\ \end{gathered} 
\], что
\[
\begin{gathered}
 \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\alpha _i {\text{  +  }}\beta _i \sqrt 2 } \right)} ^2  = 5 + 4\sqrt 2 ? \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теории чисел
Сообщение14.03.2008, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Если да, то \[
\begin{gathered}
 \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\alpha _i {\text{  -  }}\beta _i \sqrt 2 } \right)} ^2  = 5 - 4\sqrt 2  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\], что невозможно из-за разных знаков частей равенства.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2008, 16:58 


17/01/08
110
Нет.

Раскроем скобки, приравняем множители при $\sqrt 2$ и воспользуемся тем, что $\alpha_i^2 + 2\beta_i^2 \geqslant 2{\sqrt 2}\alpha_i\beta_i$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2008, 17:12 


25/06/07
124
Новосибирск
Всем спасибо, всё ясно )
А вот с этой задачкой не поможете:
Доказать, что \[
\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n 
\] представимо в виде \[
\sqrt {m + 1}  - \sqrt m 
\], где \[
m \in \mathbb{N}
\].

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2008, 17:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
lexus c. писал(а):
Доказать, что \[
\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n 
\] представимо в виде \[
\sqrt {m + 1}  - \sqrt m 
\], где \[
m \in \mathbb{N}
\].

Раскройте скобки и соберите отдельно положительные, отдельно отрицательные члены - это и будут $\sqrt{m+1}$ и $-\sqrt{m}$, что следует из того факта, что
$$\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n \left( {\sqrt 2  + 1} \right)^n = 1 = (\sqrt{m+1})^2 - (\sqrt{m})^2.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2008, 17:46 


25/06/07
124
Новосибирск
maxal, большое спасибо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group