Число из цифр 1, 3, 7, 9 и делимость на 7

[Ktina]

Натуральное число составлено из цифр 1, 3, 7 и 9, причём каждая из этих цифр использована по крайней мере 1 раз. Докажите, что цифры этого числа можно переставить таким образом, чтобы полученное число делилось на 7.

[Yadryara]

Спасибо за задачу. Сами придумали?

У меня такой метод придумался. В делимости на $7$ числа, состоящего из одних семёрок, сомневаться не приходиться. Вот с ним и будем работать.

Замена первой справа цифры в таком числе на $1$, $3$ или $9$ увеличивает остаток от деления на $7$ на $1$, $3$ и $2$ соответственно.
Замена второй справа цифры в таком числе на $1$, $3$ или $9$ увеличивает остаток от деления на $7$ на $3$, $2$ и $6$ соответственно.
Замена третьей справа цифры в таком числе на $1$, $3$ или $9$ увеличивает остаток от деления на $7$ на $2$, $6$ и $4$ соответственно.
Замена четвёртой справа цифры в таком числе на $1$, $3$ или $9$ увеличивает остаток от деления на $7$ на $6$, $4$ и $5$ соответственно.

\begin{tabular}{rccc} Заменяемые цифры & 1 & 3 & 9 \\ Увеличение остатка для 4-й цифры справа & 6 & 4 & 5 \\ Увеличение остатка для 3-й цифры справа & 2 & 6 & 4 \\ Увеличение остатка для 2-й цифры справа & 3 & 2 & 6 \\ Увеличение остатка для 1-й цифры справа & 1 & 3 & 2 \\ \end{tabular}

Из этой таблицы нужно выбрать ровно три числа, стоящие в разных строках и разных столбцах так, чтобы их сумма была кратна $7$. Таких вариантов три:

$6 + 6 + 2 = 14$. То есть заменяю 4-ю справа цифру на $1$, затем 3-ю справа на $3$, и крайнюю правую на $9$. Получаю число $777...7771379$. Количество семёрок слева по вкусу, вплоть до нуля включительно. Любое число такого вида будет делиться на $7$.

$5 + 6 + 3 = 14$. То есть заменяю 4-ю справа цифру на $9$, затем 3-ю справа на $3$, и 2-ю справа на $1$. Получаю число $777...7779317$. Любое число такого вида будет делиться на $7$.

$4 + 2 + 1 = 7$. То есть заменяю 3-ю справа цифру на $9$, затем 2-ю справа на $3$, и крайнюю правую на $1$. Получаю число $777...7779317$. Любое число такого вида будет делиться на $7$. То есть не только $77931$ и $7931$, но и $931$.

[Yadryara]

Продолжение.

Yadryara в сообщении #1289095 писал(а):

$4 + 2 + 1 = 7$. То есть заменяю 3-ю справа цифру на $9$, затем 2-ю справа на $3$, и крайнюю правую на $1$. Получаю число $777...7779317$.

Очепятка. $777...777931$ конечно же.

Yadryara в сообщении #1289095 писал(а):

Из этой таблицы нужно выбрать ровно три числа, стоящие в разных строках и разных столбцах так, чтобы их сумма была кратна $7$.

Можно выбрать ровно три числа так, чтобы их сумма была равна любому целому числу от $7$ до $13$. То есть встречаются все остатки от деления на $7$. А это означает, что ставя $1$, $3$ и $9$ на соответствующие места, всегда можно получить число, делящееся на $7$.

Пример. Надо построить число состоящее из двух единиц, одной тройки, трёх семёрок и одной девятки.

Для этого лучше взять более полную версию таблицы:

\begin{tabular}{rccc} Заменяемые цифры & 1 & 3 & 9 \\ Увеличение остатка для 6-й цифры справа & 5 & 1 & 3 \\ Увеличение остатка для 5-й цифры справа & 4 & 5 & 1 \\ Увеличение остатка для 4-й цифры справа & 6 & 4 & 5 \\ Увеличение остатка для 3-й цифры справа & 2 & 6 & 4 \\ Увеличение остатка для 2-й цифры справа & 3 & 2 & 6 \\ Увеличение остатка для 1-й цифры справа & 1 & 3 & 2 \\ \end{tabular}

Как видим, в каждом столбце полный комплект от $1$ до $6$. Увеличение остатка для 7-й цифры справа будет таким же как и для 1-й, для 8-й, как для 2-й и т. д.

Это свойство пока не потребуется.

$4 + 6 + 2 + 2 = 14$. То есть заменяю 5-ю справа цифру на $1$, затем 4-ю справа тоже на $1$, затем 2-ю справа на $3$ и крайнюю правую на $9$. Получаю число $7711739$. Да-да, кто бы мог подумать, оно и впрямь делится на $7$

Аналогичным образом можно построить все те числа, о которых идёт речь в условии.

[wrest]

Выберем из данного нам числа цифры $1, 3, 7, 9$ и отложим их в сторону. Это всегда можно сделать т.к. по условию не менее одной цифры каждого из 4-х сортов имеется в исходном числе. Пусть теперь данное число из оставшихся после откладывания цифр в сторону равно $n \ge 0$, запишем остаток от деления $n\cdot 10^4$ на $7$.

Поскольку
$1379$ - дает остаток от деления на $7$ равный $0$
$1793$ - дает остаток от деления на $7$ равный $1$
$3719$ - дает остаток от деления на $7$ равный $2$
$1739$ - дает остаток от деления на $7$ равный $3$
$1397$ - дает остаток от деления на $7$ равный $4$
$1937$ - дает остаток от деления на $7$ равный $5$
$1973$ - дает остаток от деления на $7$ равный $6$
То составляем из отложенных в сторону цифр и приписываем справа одно из вышеперечисленных чисел к $n$ так, чтобы сумма остатков от деления на $7$ числа $n\cdot 10^4$ и приписываемого числа получилась равной $0$ или $7$, что очевидно всегда можно сделать.

Этим доказано и показано как именно переставить.

Таким образом, условие можно переформулировать более общо:

В десятичной записи натурального числа по крайней мере 1 раз встречается каждая из цифр 1, 3, 7 и 9. Докажите, что цифры этого числа можно переставить таким образом, чтобы полученное число делилось на 7.

[Ktina]

Yadryara в сообщении #1289095 писал(а):

Спасибо за задачу. Сами придумали?

К сожалению, нет.

-- 01.02.2018, 22:42 --

Шестая задача.