Эллиптическая ли кривая x^3+y^3=1 ?

[Volik]

Доброго дня всем!
Кривая неособенная и имеет две рациональные точки $(x=1, y=0)$ , $(x=0, y=1)$ , то есть, вроде эллиптическая. С другой стороны, известно что других рациональных точек у нее нет! Тогда вопрос: каков ее ранг? Как складывать точки?
Для вещественного поля вроде сходится, но как быть с рациональным?
В интернете нашел ее упоминание только на http://www.iakovlev.org/blogs.html?p=79, и то бегло и с не рабочей формулой перевода ее в форму Вейерштрасса!
Может доходчиво поясните? Или дадите толковую ссылку?

[пианист]

$(3/5, 4/5)$?
Вы степени не перепутали?
Окружность не эллиптическая кривая, она коника.

[Volik]

Спасибо! Разумеется, кубы! Исправил. Извиняюсь за невнимательность!!!

[пианист]

В книжечке Прасолов, Соловьев есть, гл.5, §3, пример 4.

[Volik]

Еще раз, спасибо.
Я как то это пропустил. Но, все равно остаются вопросы:
1) Каков ее ранг (при отсутствии точек бесконечного порядка)?
2) Сложение тоже, кажется "хромает", (всего две точки, не считая на бесконечности)
3) Получая форму Вейерштрасса $ y^2-y=x^3-7$ они фактически делают подстановку $p=\frac{y+4}{3 x},q=\frac{5-y}{3 x}$ в уравнении $p^3+q^3=1$.
4) Мне кажется моя подстановка $p=\frac{1+y}{ x},q=\frac{1-y}{ x}$ , дающая $ 6 y^2+2=x^3$ "лучше"?
5) Конечно ли число таких подстановок и стоит ли выбирать из них "лучшую"?

[пианист]

Ранг 0 (если я правильно понимаю, что есть ранг).
В чем проблема со сложением?
По произволу в приведении к канонической форме, и какая лучше какой - никаких идей.

[Volik]

Насчет ранг = 0, Вы видимо правы.
В книге ранг кривой для меня сложен, поэтому я брал из Википедии "Рангом эллиптической кривой ${\displaystyle E} $ называется минимальное число рациональных точек бесконечного порядка из теоремы Морделла" и что "любая точка на эллиптической кривой представляется в виде:

${\displaystyle P=a_{1}P_{1}+a_{2}P_{2}+\dots +a_{n}P_{n}+Q} {\displaystyle P=a_{1}P_{1}+a_{2}P_{2}+\dots +a_{n}P_{n}+Q}$"
Если акцентировать на "любая", то вроде сходится. На любой кривой справедливо ${\displaystyle P=Q}$", а в нашем случае их всего две.
Наверно и со сложением точек меня сбило с толку то что в формулах для координат $x_3=\frac{(y_2-y_1)^2}{(x_2-x_1)^2}-x_1-x_2, \; y_3=-y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x_1-x_3)$ и в их и моей нормальных формах $x_1=x_2$, а в исходной $x_3=0, \; -y_3=1$, то есть она из исходных точек.
Остальное, мелочи.
Так что, еще раз спасибо. Похоже все вопросы прояснились.