Деление с остатком

[CMTV]

Здравствуйте!

Сейчас прохожу деление в целых числах по книге "Признаки деления" Н.Н. Воробьева из серии "Популярные лекции по математике".

Все понятно и классно, но меня кое-что смущает. Цитата (стр. 18):

Цитата:

Покажем, что деление с остатком всегда выполнимо, а неполное частное и остаток вполне определяются делимым и делителем, т. е. единственны.

Смущает меня конкретно "всегда выполнимо", ведь это означает, что $ \forall a,b \in \mathbb{Z} \wedge b\neq 0 $ деление с $a$ на $b$ с остатком выполнимо.

Пусть $a=2$ и $b=4$. Получаем выражение: $ 2 = 4\times(-1) + 6 $

Но это не запись деления 2 на 4 с остатком, так как $r=6$ больше модуля $b=4$. Получается, нельзя разделить 2 на 4 с остатком (да и без остатка тоже нельзя).

Другими словами, для деления с остатком надо доказывать теорему, аналогичную теореме $a \ \vdots \ b \wedge |a|<|b| \Rightarrow a = 0 $ в обычном делении...

Может, я что-то не так понял?

-- 29.01.2018, 15:37 --

Уже понял свою ошибку. Как раз из доказательства, приведенного автором. Если $r>b \Rightarrow a-b(q+1)>0$, а значит можно увеличить $q = -1$ еще на единицу.

Как раз получим $2 = 4\times 0 + 2$.

Короче говоря, ошибка произошла из-за того, что я не рассмотрел 0 в качестве неполного частного.

[Lia]

$ 2 = 4\times 0 + 2 $

-- 29.01.2018, 17:40 --

А, уже )