Проблема исчисления бесконечно малых в фрактальной геометрии

[Rusit8800]

Как известно, для вычисления площади под графиком гладкой функции, эту площадь разбирают на бесконечно много прямоугольных трапеций. Для этого используется тот факт, что при неограниченном увеличении гладкой функции она все больше будет похожа на прямую. Однако с фракталами такое не прокатит - сколько их не уменьшай, они будут выглядеть почти также. В связи с этим у меня возникает вопрос: а как берется интеграл по фракталу? В частности как можно вычислить площадь множества Мандельброта?

[arseniiv]

Ну, во-первых, множество Мандельброта не является чьим-то подграфиком (или, если имелось в виду именно какой-то функции по нему, вы слишком быстро перескочили с одного на другое). Можно взять что-то другое, что будет являться. Во-вторых, в интеграле Римана не используется похожесть функции на прямую в приближении — по Риману интегрируемы некоторые откровенно даже разрывные функции (например, целая часть числа).

Функция

$$f(x) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{\sin k^2x}{k^2}$$

имеет весьма фрактальный график:



При этом она интегрируема по Риману на любом отрезке, ибо непрерывна на всём $\mathbb R$ (и интегралом по $[0;\pi]$, например, будет $\pi^4/48$).

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1288142 писал(а):

эту площадь разбирают на бесконечно много прямоугольных трапеций

А разве не просто прямоугольников? (ну и не "разбивают на бесконечно много", а приближают всё увеличивающимся числом)

Rusit8800 в сообщении #1288142 писал(а):

Для этого используется тот факт, что при неограниченном увеличении гладкой функции она все больше будет похожа на прямую

Нет. "На пальцах" используется тот факт, что площади прямоугольников, которые можно запихать под график, почти хватает чтобы собрать из прямоугольников фигуру, в которую можно засунуть область под графиком.

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1288153 писал(а):

Ну, во-первых, множество Мандельброта не является чьим-то подграфиком (или, если имелось в виду именно какой-то функции по нему, вы слишком быстро перескочили с одного на другое).

Именно функции по нему.

arseniiv в сообщении #1288153 писал(а):

имеет весьма фрактальный график:

Весьма, или фрактальный? В любом случае этот график выгладит как "очень ломаная" линия, а множество Мандельброта намного сложнее по крайней мере по тому, что это не совсем линия.

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1288142 писал(а):

а как берется интеграл по фракталу? В частности как можно вычислить площадь множества Мандельброта?

А в чем тут проблема? Вы скажем определения интеграла функции по квадрату знаете?
Чтобы перейти от интеграла по квадарту к интегралу по ограниченному множеству достаточно функцию домножить на индикатор этого множества.

[arseniiv]

Rusit8800 в сообщении #1288242 писал(а):

Весьма, или фрактальный?

Не хочу утверждать что-то определённое без оснований, но если сравнить с кривой Коха, обе неспрямляемы. Сама $f$ недифференцируема.

[Rusit8800]

mihaild в сообщении #1288246 писал(а):

А в чем тут проблема? Вы скажем определения интеграла функции по квадрату знаете?
Чтобы перейти от интеграла по квадарту к интегралу по ограниченному множеству достаточно функцию домножить на индикатор этого множества.

Я в этом не слышал. Но если все так просто, как вы сказали, то почему точная площадь множества Мандельброта не найдена до сих пор?

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1288306 писал(а):

Но если все так просто, как вы сказали, то почему точная площадь множества Мандельброта не найдена до сих пор?

Всё просто определяется. Получить результат применения определений к конкретным объектам может быть сильно сложнее.
Мне казалось, что вы спрашиваете про определения. Если про конкретные объекты (как вычисляют площадь того или иного множества) - то можете указать, какие?
И еще нужно указать, что значит "площадь известна". Например, для множества Мандельброта известен конкретный ряд с рекуррентно заданными членами, сходящийся к его площади. Это считается "точно известна площадь"?
Если нет - то считается, ли что $\pi$ "точно известно"? Если да, то в чем принципиальная разница?

[Rusit8800]

mihaild в сообщении #1288326 писал(а):

И еще нужно указать, что значит "площадь известна". Например, для множества Мандельброта известен конкретный ряд с рекуррентно заданными членами, сходящийся к его площади. Это считается "точно известна площадь"?

Цитата из Википедии:
"Точное значение площади множества Мандельброта неизвестно. На 2012 год она оценивалась как 1,506 591 884 9 ± 2,8×10−9. Точная координата центра масс (расположенного на оси абсцисс) тоже неизвестна и оценивается как −0,286 768 420 48 ± 3,35×10−9[1]."

-- 29.01.2018, 21:59 --

mihaild в сообщении #1288326 писал(а):

Мне казалось, что вы спрашиваете про определения. Если про конкретные объекты (как вычисляют площадь того или иного множества) - то можете указать, какие?

Я спрашиваю про то и другое. Конкретный объект я указал - это множество Мандельброта.

[Mikhail_K]

Rusit8800 в сообщении #1288347 писал(а):

Точное значение площади множества Мандельброта неизвестно. На 2012 год она оценивалась как 1,506 591 884 9 ± 2,8×10−9. Точная координата центра масс (расположенного на оси абсцисс) тоже неизвестна и оценивается как −0,286 768 420 48 ± 3,35×10−9

Ну ничего себе "неизвестна". Здесь сказано, что она как раз известна с большой точностью.
Задумайтесь над вопросами mihaild выше: а что бы такое означала "известность" этой площади, если то что есть - интерпретируется как "неизвестна"?

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1288347 писал(а):

Цитата из Википедии

Так себе источник в любом случае, и определения известности значения математической константы там нет.

Rusit8800 в сообщении #1288347 писал(а):

Я спрашиваю про то и другое

Определяется понятие площади плоского множества, например, через меру Лебега.
Коэффициенты ряда, выражающего площадь множества Мандельброта, есть в статье. Про него есть и другие результаты (при поиске этой статьи я на них натыкался), но составление обзора я лучше оставлю специалистам.

[grizzly]

mihaild в сообщении #1288363 писал(а):

Коэффициенты ряда, выражающего площадь множества Мандельброта, есть в статье.

Не совсем так. Там даны коэффициенты для расчёта верхней оценки множества Мандельброта. И по этим коэффициентам получается что-то в районе 1.7 с такой плохой сходимостью, что авторы бросили это дело и считали попиксельно, как в упомянуто Википедии. Только точность их подсчёта была примерно на порядок порядков хуже :)

-- 29.01.2018, 23:23 --

Mikhail_K в сообщении #1288359 писал(а):

Здесь сказано, что она как раз известна с большой точностью.
Задумайтесь над вопросами mihaild выше: а что бы такое означала "известность" этой площади, если то что есть - интерпретируется как "неизвестна"?

Не могу согласиться. ТС задал вполне разумный вопрос (попытался хотя бы) и нельзя просто так ответить, что хорошо посчитанная попиксельным методом площадь означает, что она известна. Если даже неизвестно, имеет ли граница множества положительную меру Лебега.

[mihaild]

grizzly в сообщении #1288380 писал(а):

Там даны коэффициенты для расчёта верхней оценки множества Мандельброта.

Разве? Там написано, что площадь в точности равна $\pi \left(1 - \sum\limits_{m=1}^\infty m |b_m|^2\right)$, и приведены какие-то формулы для $b_m$. Частичные суммы понятно дают верхние оценки на площадь, но считаются коэффициенты сложно, а ряд сходится медленно, поэтому с точностью всё плохо.
На вольфраме со ссылкой на эту работу приведены конкретные вполне читаемые выражения для $b_m$, и сказано о сходимости:

вольфрам писал(а):

the sum converges very slowly, so $10^{118}$ terms are needed to get the first two digits, and $10^{1181}$ terms are needed to get three digits

[grizzly]

mihaild
Да, Вы правы, я был невнимателен при беглом просмотре. Этот результат Гронуолла действительно упомянут в той статье, хотя авторы там занимаются совсем другим. И один знак после запятой получить по этой формуле не совсем реально. Но из этого никак не следует, что вопрос закрыт и это больше никому не интересно.

[mihaild]

(про известность чисел)

grizzly, да, про это число можно задать кучу вопросов, наверняка не на все из них известны ответы. Например, мне сходу не удалось найти, известно ли, является ли оно алгебраическим (или для специалистов ответ на это очевиден, поэтому его никто не записал?). Но всё-таки понятие "число известно" ИМХО слишком размыто, чтобы о нем было осмысленно говорить. Известны ли значения чисел $2$, $\frac{2}{3}$, $\sqrt{2}$, наибольшего вещественного корня уравнения $x^5 - 6x + 3 = 0$, $e$, константы Хайтина?