ВТФ3 и Комбинаторика

[ishhan]

Уважаемые Господа!
Предлагаю для обсуждения комбинаторный подход к ВТФ3.
В основе него лежит Триноминальное тождество записанное в виде:

$(a+b+c)^3+(a-b-c)^3+(-a+b-c)^3+(-a-b+c)^3= (a_k+b_k+c_k)^3+(a_k-b_k-c_k)^3+(-a_k+b_k-c_k)^3+(-a_k-b_k+c_k)^3$

Где

$abc=a_kb_kc_k$

Пусть не выполняется ВТФ3 и целые корни уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ выражаются как:
$x=(a-b-c)$
$y=(-a+b-c)$
$z=(-a-b+c)$
$a,b,c$- целые числа
Тогда куб суммы$(a+b+c)$ некоторого целого числа- $P^3= (a+b+c)^3$,
можно записать $k$ способами в виде суммы четырёх кубов.

$(a+b+c)^3=(a_k+b_k+c_k)^3+(a_k-b_k-c_k)^3+(-a_k+b_k-c_k)^3+(-a_k-b_k+c_k)^3$

Где $k$ -число различных способов представления числа $f= abc=a_kb_kc_k$ в виде произведения трёх множителей $a_kb_kc_k $
Отметим, что подобное рассмотрение связывает сумму $a+b+c$ и произведение $abc$.

[mihaild]

ishhan в сообщении #1287749 писал(а):

целые корни уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ выражаются как:
$x=(a-b-c)$
$y=(-a+b-c)$
$z=(-a-b+c)$
$a,b,c$- целые числа

А если не выражаются? Разрешимость этой системы в целых числах сходу неочевидна.
(в смысле вы пока работаете в таком предположении, и случай, когда не выражаются, рассмотрите отдельно, или считаете что всегда выражаются?)

[ishhan]

mihaild в сообщении #1287772 писал(а):

А если не выражаются? Разрешимость этой системы в целых числах сходу неочевидна.
(в смысле вы пока работаете в таком предположении, и случай, когда не выражаются, рассмотрите отдельно, или считаете что всегда выражаются?)

Можно выбрать любые три куба из левой части Триномиального тождества и приравнять их сумму к нулю.
Это и есть уравнение ВТФ3.

[mihaild]

ishhan в сообщении #1287788 писал(а):

Можно выбрать любые три куба из левой части Триномиального тождества и приравнять их сумму к нулю.

Нельзя. Не для всяких целых $x,y,z$ получающаяся система разрешима относитель $a,b,c$ в целых числах.

[ishhan]

mihaild
Вы правы есть нюансы, поэтому распишем подробности.
Для целых чисел x,y,z выполняется тождество:

$$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$$

Вводим новые обозначения:

$x+y=a$
$x+z=b$
$y+z=c$

Выражаем $x,y,z$ через $a,b,c$

$x=\frac{a+b-c}{2}$
$y=\frac{a-b+c}{2}$
$z=\frac{-a+b+c}{2}$
$x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$

Здесь $a,b,c$ -такие что $x,y,z$- целые, так как речь идёт о ВТФ3.
Теперь перепишем тождество в новых обозначениях:

$(\frac{a+b+c}{2})^3+(\frac{a-b-c}{2})^3+(\frac{-a+b-c}{2})^3+(\frac{-a-b+c}{2})^3=3abc$

Пусть $ abc=a_kb_kc_k$

Тогда перепишем тождество как:

$(\frac{a+b+c}{2})^3+(\frac{a-b-c}{2})^3+(\frac{-a+b-c}{2})^3+(\frac{-a-b+c}{2})^3=(\frac{a_k+b_k+c_k}{2})^3+(\frac{a_k-b_k-c_k}{2})^3+(\frac{-a_k+b_k-c_k}{2})^3+(\frac{-a_k-b_k+c_k}{2})^3$

Надеюсь, что это не требует доказательств.

Предположим, что: $x^3+y^3+z^3=0$
В итоге получим:
$(\frac{a+b+c}{2})^3=(\frac{a_k+b_k+c_k}{2})^3+(\frac{a_k-b_k-c_k}{2})^3+(\frac{-a_k+b_k-c_k}{2})^3+(\frac{-a_k-b_k+c_k}{2})^3$
Получилось слегка иначе, чем в первом изложении.
Ну, сократил на 2 левую и правую часть.
Полагаю, что результат не должен измениться:

ishhan в сообщении #1287749 писал(а):

Тогда куб суммы$(a+b+c)$ некоторого целого числа- $P^3= (a+b+c)^3$,
можно записать $k$ способами в виде суммы четырёх кубов.

$(a+b+c)^3=(a_k+b_k+c_k)^3+(a_k-b_k-c_k)^3+(-a_k+b_k-c_k)^3+(-a_k-b_k+c_k)^3$

Где $k$ -число различных способов представления числа $f= abc=a_kb_kc_k$ в виде произведения трёх множителей $a_kb_kc_k $

[ishhan]

Таким образом уравнение Ферма для показателя 3 сводится к уравнению:

$$(a+b+c)^3=24abc$$

где $a,b,c$ - натуральные.
Похоже, что при этих условиях $(a+b+c)^3$ всегда больше, чем $24abc$
Пока не знаю как доказать, но численная проверка свидетельствует о том, что так и есть. Контрпримеров не нашел.

Причём, уравнение:

$$(a+b+c)^3=Kabc$$

имеет решение, когда $K=72$ о чем когда-то писал уважаемый Shadow на примере уравнения $(x+y+z)^3=9(x+y)(z+y)(z+x)$ для целых чисел. Тройка его решений $(x,y,z)=(-2,3,5)$ а в наших обозначениях $(a,b,c)=(1,3,8)$

(Оффтоп)

Просьба к модераторам, поменять название темы на: "ВТФ3 и уравнение $(a+b+c)^3=24abc$ "если можно.

[mihaild]

ishhan в сообщении #1287976 писал(а):

Предположим, что: $x^3+y^3+z^3=0$

Если вы хотите это уравнение получить из стандарного $x^3 + y^3 = z_0^3$ ($x,y,z \in \mathbb{N}$), то у вас получится $z < 0, |z| > x, |z| > y$.

ishhan в сообщении #1287976 писал(а):

$x+y=a$
$x+z=b$
$y+z=c$

С учетом предыдущего $b < 0, c < 0$, и условие

ishhan в сообщении #1289451 писал(а):

$a,b,c$ - натуральные

не выполнено.
(а без этого условия можно легко получить $(a + b + c)^3 < 24abc$, например $a=3, b = c = -1$)

[ishhan]

mihaild
Да, глупость сморозил.
Правильней так: если $a,b,c$-натуральные, то "эквивалентное уравнение Ферма" записанное в форме тринома разбивается на четыре уравнения:

$$(a+b+c)^3=24abc$$

$$(a-b-c)^3=24abc$$

$$(-a+b-c)^3=24abc$$

$$(-a-b+c)^3=24abc$$

Отметим, что правая часть этих уравнений не изменяется при одновременной смены знаков у любых двух из трёх переменных $abc=a(-b)(-c)=(-a)b(-c)=(-a)(-b)c$
Первое из этих уравнений не выполняется, так как левая часть всегда больше, чем правая.
Ни одно их четырёх уравнений не выполняется, если ни одно из чисел $a,b,c$ не делится на 9
P.S. Из этих четырёх уравнений достаточно рассмотреть первое и любое другое уравнение.

[mihaild]

ishhan в сообщении #1289557 писал(а):

если $a,b,c$-натуральные, то "эквивалентное уравнение Ферма" записанное в форме тринома разбивается на четыре уравнения

Я не понимаю, что это значит. Пока что вы показали один способ, как из натуральных $x, y, z$, удовлетворяющих уравнению $x^3 + y^3 = z^3$, изготовить целые $a, b, c$, удовлетворяющие уравнению $(a + b + c)^3 = 24abc$. Про какие натуральные $a,b,c$ вы говорите, и откуда берутся еще три уравнения - непонятно.

[ishhan]

mihaild в сообщении #1289562 писал(а):

Про какие натуральные $a,b,c$ вы говорите, и откуда берутся еще три уравнения - непонятно.

mihaild
Все таки $a,b,c$ целые, а ещё три, а всего четыре уравнения берутся из тождества:

$$(a+b+c)^3+(a-b-c)^3+(-a+b-c)^3+(-a-b+c)^3=24abc$$

У которого в правой части четыре куба, каждый из которых характеризует одно из четырёх уравнений.

[mihaild]

ishhan в сообщении #1289671 писал(а):

четыре куба, каждый из которых характеризует одно из четырёх уравнений.

Что значит "куб характеризует уравнение"?

[ishhan]

mihaild в сообщении #1289710 писал(а):

Что значит "куб характеризует уравнение"?

Алгебраический вид левой части тождества представлен в виде суммы четырёх кубов

$$(a+b+c)^3+(a-b-c)^3+(-a+b-c)^3+(-a-b+c)^3=24abc $$

Пусть$ a,b,c$ - целые числа, тогда в предположении того, что сумма любых трёх из четырёх
кубов в левой части равна нулю ( т.е . ур-е ВТФ3 записанное в виде $x^3+y^3+z^3=0$имеет решение) получим четыре уравнения.

$$(a+b+c)^3=24abc$$

$$(a-b-c)^3=24abc$$

$$(-a+b-c)^3=24abc$$

$$(-a-b+c)^3=24abc$$

В этом смысле каждый из четырёх кубов участвует в алгебраической записи равенства числу $24abc$ и, тем самым, характеризует одно из выше приведённых четырёх уравнений.

[mihaild]

ishhan в сообщении #1290124 писал(а):

Пусть$ a,b,c$ - целые числа, тогда в предположении того, что сумма любых трёх из четырёх
кубов в левой части равна нулю ( т.е . ур-е ВТФ3 записанное в виде $x^3+y^3+z^3=0$имеет решение)

Если сумма любых трех равна нулю, то они просто все равны нулю. Если же речь о каких-то трех конкретных - то из этого получается только одно из выписанных уравнений.

Пока что я вижу такое рассуждение: взяли решение уравнения $x^3 + y^3 + z^3 = 0$, из него изготовили целые $a, b, c$, удовлетворяющие $(a + b + c)^3 = 24abc$.
При желании можно изготовить еще целые $d, e, f$, удовлетворяющие $(d - e - f)^3 = 24 def$ и т.д. Что из этого следует - непонятно.

[ishhan]

mihaild в сообщении #1290127 писал(а):

Если сумма любых трех равна нулю, то они просто все равны нулю.

$$(a+b+c)^3=24abc$$

$$(a-b-c)^3=24abc$$

$$(-a+b-c)^3=24abc$$

$$(-a-b+c)^3=24abc$$

При этом, нужно рассматривать эти четыре уравнения не как систему уравнений, а как набор независимых уравнений и Вы правы в том, что переменные следует обозначать другими буквами.
Но я обращаю внимание на алгебраический вид четырёх уравнений и то, что каждое из уравнений можно получить из первого для этого нужно одновременно поменять знак у любых двух из трёх переменных $a,b,c$ при этом правая часть не изменится

[mihaild]

Ну да, можно. И что? Если вы собираетесь их анализировать одновременно - всё-таки введите разные обозначения, и напишите, что хотите с ними делать. Если не собираетесь - то выберите пока одно, укажите какое, и что с ним хотите делать.
(только нужно помнить, что в разных уравнениях у вас получаются разные знаки у переменных)