Монотонное идемпотентное преобразование булеана

[Mysterious Light]

Добрый день.

Столкнулся с классом функций $c: \mathcal{P}(M) \to \mathcal{P}(M)$, сопоставляющих подмножеству $M$ другое подмножество и удовлетворяющих:

1. $c(\varnothing) = \varnothing$, $c(M) = M$.
2. $A \subseteq c(A)$.
3. $c(c(A)) = c(A)$.
4. $A\subseteq B \Rightarrow c(A)\subseteq c(B)$.

Сейчас рассматриваю только конечные $M$.

Свойство (4) выражает монотонность преобразования для порядка $\subset$ на $\mathcal{P}(M)$, свойство (3) идемпотентность.
Не знаю, как называет свойство (2). Можно сказать, что $\mathrm{id} \preceq c$.

Что можно сказать про этот класс преобразований?

Мне в начале показалось, что каждая такая функция порождает топологию $\mathcal{O} = \{ M\setminus c(A) \;|\; A\subseteq M \}$, потому что свойства очень похожи на оператор замыкия. Однако, в общем случае не выполняется сохранение объединения $c(A\cup B) = c(A)\cup c(B)$.

P.S. если будет проще, можно добавить условие (5) $c(A\cap B) = c(A)\cap c(B)$.

[Xaositect]

Это тоже часто называют оператором замыкания - https://en.wikipedia.org/wiki/Closure_operator
Такие операторы (без условия $c(\varnothing) = \varnothing$) соответствуют нижним подполурешеткам $\mathcal{P}(M)$ (семействам множеств содержащим $M$ и замкнутым относительно пересечения):
семейство замкнутых множеств ($A = c(A)$) образует подполурешетку, и каждой подполурешетке $S$ соответствует замыкание $c(A) = \bigcap_{X \in S, X \supseteq A} X$.
Если хочется $c(\varnothing) = \varnothing$, надо потребовать $\varnothing \in S$.

[Mysterious Light]

Большое спасибо.