Найти сумму ряда

[InDev]

Все мы знаем как просуммировать ряды $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ и $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$. А вот как найти сумму сходящегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(n!\right)^n}$?

-- 20.01.2018, 09:15 --

Приближенные вычисления дали результат $0.254632643751607517208928378394548543811100954485223670421605$

[gris]

Чего-то с первого же члена сомнения берут. Приближённо, конечно, и дважды два пять, но как-то странно видеть полсотни знаков после запятой при такой степени приближения.

[atlakatl]

gris
Ну забыл ТС единичку вперёд поставить. Со 2-го члена всё в порядке.
Ряд убывает очень быстро. В районе сотого члена его сумма будет очень будет похожа на рациональное число - с неизменяемой частью и периодом. И очень далеко по числу опять начинается нерегулярность.
Потому, получить аналитическое решение не удастся: все привычные мат.константы вышеуказанным свойством не обладают.

[gris]

atlakatl, я даже боюсь трактовать Ваше сообщение без экспертизы Ktina

[atlakatl]

gris
С первой его частью всё ж понятно?
Подробнее о второй.
Число $e$ является суммой ряда из обратных факториалов. Это тоже стремительно убывающий ряд, но гораздо менее, чем ряд InDev.
Что по ряду ТС?
В районе, начиная с сотых его членов, их состав будет типа такого: $0,\underbrace{000...000}_{'many zeros'}\underbrace{13423899.987}_{'irregular part'}\underbrace{(665409887)}_{'endless period'}$.
Так вот, ненулевые цифры следующего члена ряда будут гораздо глубже, чем большое число повторяющегося периода члена предыдущего.
А "нормальные", полученные методами матана, числа обычно длинного ряда периода в своей записи не содержат.
Сумма ряда будет примерно таким числом:
$1,2546326\underbrace{(77609121)}_{'5 iner'}\underbrace{785540914}_{'irregular part'}\underbrace{(0986658734)}_{'45 iner'}$...

[gris]

atlakatl, я и имел в виду, что опасаюсь касаться рассуждений о регулярности и подобных сабжей из ТЧ. Просто чисто лингвистически меня позабавило утверждение, что "в районе сотого члена его сумма будет очень будет похожа на рациональное число". По-моему, любая частичная сумма ряда из рациональных чисел будет очень похожа на рациональное число.
Но дело не этом. Что, собственно, хочет ТС? Получить значение суммы как конечное алгебраическое выражение из натуральных чисел и известных констант? Через какую-нибудь спецфункцию?

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1285854 писал(а):

Со 2-го члена всё в порядке.

Вы думаете? Что-то у меня с 19-го тоже сомнения. Лучше так:
1.2546326437516075174660917619423624873602862427910816970143008652092...
(см. A261114)

-- 20.01.2018, 11:49 --

gris в сообщении #1285864 писал(а):

Что, собственно, хочет ТС?

Думаю, ТС движет обычное любопытство (здоровое, я считаю). Эта сумма на каждом углу не валяется, а математики такой народ, что могли что-то хитрое придумать. Но в данном случае вряд ли, увы.

[vpb]

(Оффтоп)

Вспомнил я, как классе в шестом пытался вычислить $\int_0^1 x^x dx$. Эх, детство, детство золотое...

[StaticZero]

vpb в сообщении #1285900 писал(а):

(Оффтоп)

Вспомнил я, как классе в шестом пытался вычислить $\int_0^1 x^x dx$. Эх, детство, детство золотое...

(Оффтоп)

Так все же знают, что это $\left.\dfrac{x^{x + 1}}{x + 1} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}$.

(Оффтоп)

Очевидно, это грустная шутка.

[vpb]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1285998 писал(а):

(Оффтоп)
Очевидно, это грустная шутка.

Да, в плане что уже далеко не детство и не молодость, как-то невесело...