Многочлен генерирует числа Фибоначчи.

[Сергей Маркелов]

В Википедии прочитал: множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

$$ f(x,y) = 2xy^4+x^2y^3-2x^3y^2-y^5-x^4y+2y $$

на множестве неотрицательных целых чисел $x$ и $y$.

Это утверждение совершенно меня поразило. Если кто-то знает, как его доказать, напишите, пожалуйста? Знаю, что по правилам форума нужно показать результаты собственных попыток доказать утверждение, но я ума не приложу, как и подступиться к нему. Попробовал написать программу, которая перебрала все $x$ от 1 до 100 и все $y$ от 1 до 100. Оказалось, что из 10 тысяч пар $(x,y)$ в 9990 случаях $f(x,y)\leq0$ и лишь 10 пар дают $f(x,y)>0$. Вот они: указаны $x$, затем $y$, затем $f(x,y)$:

1, 1, 1
1, 2, 2
2, 3, 3
3, 5, 5
5, 8, 8
8, 13, 13
13, 21, 21
21, 34, 34
34, 55, 55
55, 89, 89

Выглядит так, что многочлен $f(x,y)$ дает положительные значения весьма редко и лишь при таких положительных $x,y$, которые сами по себе являются последовательными числами Фибоначчи, и это значение само равно второму из этих последовательных чисел Фибоначчи. Но почему это так? Как такой многочлен придумали? Ума не приложу.

[mihaild]

Если поискать, то можно найти статью, в которой это доказывается (вроде бы без высоких техник, но не вчитывался).

[Andrey A]

Сергей Маркелов в сообщении #1285707 писал(а):

Ума не приложу

Запишите $f(x,y) = 2xy^4+x^2y^3-2x^3y^2-y^5-x^4y+2y=y(2-(x^2+xy-y^2)^2)$, и многое прояснится.