Бесконечно много хороших блоков (С. Берлов)

[Ktina]

Блок из $N$ подряд идущих натуральных чисел называется хорошим, если произведение каких-то двух из них делится на сумму остальных. Для каких $N$ существует бесконечно много хороших блоков?
(С. Берлов)

[gris]

$(2k)\cdot(2k+2)=((2k-1)+(2k+1))\cdot (k+1) \Rightarrow $
$\forall k \quad(2k-1,2k,2k+1,2k+2)\in \mathrm{GOODBLOCKS} \Rightarrow 4\in\mathrm{GOODN}$
$(2k)\cdot(2k-2)=((2k-1)+(2k+1))\cdot (k-1) \Rightarrow $
$\forall k \quad(2k-2,2k-1,2k,2k+1)\in \mathrm{GOODBLOCKS} \Rightarrow 4\in\mathrm{GOODN} \Rightarrow $
$\forall n \quad(n,n+1,n+2,n+3)\in \mathrm{GOODBLOCKS} \Rightarrow 4\in\mathrm{SUPERGOODN}$
Впрочем, словесное рассуждение о последнем члене блока позволяет распространить идею на все чётные $N$.

[Ktina]

gris
На все чётные, кроме 2, Вы имели в виду?

[gris]

Да, чётные $N>2$, конечно, если не издеваться над условием
Хорошие блоки для нечётных $N$ существуют (например, $(1,2,3): 1|(2\cdot 3); (2,3,4,5,6): (3+4+5)|(2\cdot 6)$), но ведь надо строить их бесконечное количество или доказывать обратное.

[Shadow]

gris в сообщении #1285852 писал(а):

надо строить их бесконечное количество или доказывать обратное.

Я выбираю второе. Для нечетных $N=2k+1$ запишем числа
$x-k,x-k+1,\cdots ,x,x+1,\cdots ,x+k-1,x+k$
Произведение двух из них есть полином второй степени с различными целыми корнями в интервале $[-k;k]$ Пусть будет полином $f(x)$.
Сумма остальных есть полином первой степени $g(x)=(2k-1)x+c$, где $c\in [1-2k;2k-1]$
Необходимо, чтобы один из корней $f(x)$ был и корнем $g(x)$, иначе делимость возможна только для конечного числа аргумента. Но корень $g(x)$ может быть целым только при $c=\pm (2k-1)$ с корнем $\pm 1$ или при $c=0$ с корнем $0$.
В любом случае корни $f(x)$ будут другими.

А при четном $N=2k$ можно обеспечить корень 0 и для $f(x)$ и для $g(x)$, как показал gris
$x-k,x-k+1,\cdots ,x,x+1,\cdots ,x+k-1$
выбирая $x$ и $x-k$ с дополнителным условием $(N-2) \mid (x-k)$

[Ktina]

Shadow
gris
Большое спасибо!