2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечно много хороших блоков (С. Берлов)
Сообщение19.01.2018, 10:53 
Аватара пользователя


01/12/11
8355
Блок из $N$ подряд идущих натуральных чисел называется хорошим, если произведение каких-то двух из них делится на сумму остальных. Для каких $N$ существует бесконечно много хороших блоков?
(С. Берлов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно много хороших блоков (С. Берлов)
Сообщение19.01.2018, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13518
$(2k)\cdot(2k+2)=((2k-1)+(2k+1))\cdot (k+1) \Rightarrow $
$\forall k \quad(2k-1,2k,2k+1,2k+2)\in \mathrm{GOODBLOCKS} \Rightarrow 4\in\mathrm{GOODN}$
$(2k)\cdot(2k-2)=((2k-1)+(2k+1))\cdot (k-1) \Rightarrow $
$\forall k \quad(2k-2,2k-1,2k,2k+1)\in \mathrm{GOODBLOCKS} \Rightarrow 4\in\mathrm{GOODN} \Rightarrow $
$\forall n \quad(n,n+1,n+2,n+3)\in \mathrm{GOODBLOCKS} \Rightarrow 4\in\mathrm{SUPERGOODN}$
Впрочем, словесное рассуждение о последнем члене блока позволяет распространить идею на все чётные $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно много хороших блоков (С. Берлов)
Сообщение19.01.2018, 23:41 
Аватара пользователя


01/12/11
8355
gris
На все чётные, кроме 2, Вы имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно много хороших блоков (С. Берлов)
Сообщение20.01.2018, 08:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13518
Да, чётные $N>2$, конечно, если не издеваться над условием :-)
Хорошие блоки для нечётных $N$ существуют (например, $(1,2,3): 1|(2\cdot 3); (2,3,4,5,6): (3+4+5)|(2\cdot 6)$), но ведь надо строить их бесконечное количество или доказывать обратное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно много хороших блоков (С. Берлов)
Сообщение21.01.2018, 16:08 


26/08/11
1794
gris в сообщении #1285852 писал(а):
надо строить их бесконечное количество или доказывать обратное.
Я выбираю второе. Для нечетных $N=2k+1$ запишем числа
$x-k,x-k+1,\cdots ,x,x+1,\cdots ,x+k-1,x+k$
Произведение двух из них есть полином второй степени с различными целыми корнями в интервале $[-k;k]$ Пусть будет полином $f(x)$.
Сумма остальных есть полином первой степени $g(x)=(2k-1)x+c$, где $c\in [1-2k;2k-1]$
Необходимо, чтобы один из корней $f(x)$ был и корнем $g(x)$, иначе делимость возможна только для конечного числа аргумента. Но корень $g(x)$ может быть целым только при $c=\pm (2k-1)$ с корнем $\pm 1$ или при $c=0$ с корнем $0$.
В любом случае корни $f(x)$ будут другими.

А при четном $N=2k$ можно обеспечить корень 0 и для $f(x)$ и для $g(x)$, как показал gris
$x-k,x-k+1,\cdots ,x,x+1,\cdots ,x+k-1$
выбирая $x$ и $x-k$ с дополнителным условием $(N-2) \mid (x-k)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечно много хороших блоков (С. Берлов)
Сообщение21.01.2018, 17:39 
Аватара пользователя


01/12/11
8355
Shadow
gris
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group